4東北大学 2009年 数学 第4問解答・解説

(1) $a>0$ なら加法定理から $$\sin\theta-\sin(\theta-2a)=2\sin a\cos(\theta-a).$$ $\sin a>0$ で、$0\le\theta\le\pi$ において符号が切り替わるのは $\displaystyle \theta=a+\frac\pi2$。定義は「小さくない方」（大きい方）を選ぶので $$\displaystyle f(\theta)=\begin{cases}\sin\theta,&0\le\theta\le a+\frac\pi2,\\\sin(\theta-2a),&a+\frac\pi2\le\theta\le\pi.\end{cases}$$ $a=0$ では二関数が一致するので同じ積分結果となる。従って $$\displaystyle I=\int_0^{a+\pi/2}\sin\theta\,d\theta+\int_{a+\pi/2}^{\pi}\sin(\theta-2a)\,d\theta =1+2\sin a+\cos2a=2+2\sin a-2\sin^2a.$$

(2) $s=\sin a$ は $0\le s\le1$ の範囲を動くから $$\displaystyle I=2+2s-2s^2=\frac52-2\left(s-\frac12\right)^2\le\frac52.$$ 等号は $\displaystyle s=\frac12$、すなわち $\displaystyle a=\frac\pi6$ で成立する。最大値は $\displaystyle \frac52$。

原文の「小さくないほう」は最大値を選ぶ定義。正弦の差は2sin(a)cos(θ−a)で、a>0ならθ=a+π/2で選ぶ関数が切り替わる（a=0では両関数が一致）。区分積分して$I=2+2\sin a-2\sin^2a$を得る。s=sin(a)、0≦s≦1で平方完成し、最大5/2をa=π/6で達成。