3福島県立医科大学 2021年 数学 第3問解答・解説

(1) t=$\sin^2$x とおくと 0$\le$ t$\le$1, $\cos$2x=1-2t だから $$\displaystyle f=t(1-2t)=-2\left(t-\frac14\right)^2+\frac18.$$ 最大値は 1/8。さらに $$f+1=1+t-2t^2=(1-t)(1+2t)\ge0$$ なので最小値は -1。

(2) f の符号は cos2x の符号で決まり、$0\le x\le\pi/4$ と $3\pi/4\le x\le\pi$ で非負、$\pi/4\le x\le3\pi/4$ で非正。f($\pi$-x)=f(x) より $$\displaystyle S=2\left(\int_0^{\pi/4}f(x)\,dx-\int_{\pi/4}^{\pi/2}f(x)\,dx\right).$$ 二倍角公式から $$\displaystyle f(x)=-\frac14+\frac12\cos2x-\frac14\cos4x,$$ その原始関数を $$\displaystyle F(x)=-\frac{x}{4}+\frac14\sin2x-\frac1{16}\sin4x$$ とすると、二つの積分値は 1/4-$\pi$/16 と -1/4-$\pi$/16。したがって S=1。

(3) 円板法により $$\displaystyle V=\pi\int_0^\pi f(x)^2\,dx.$$ 積を展開して $$\displaystyle f(x)^2=\frac1{16}(3-4\cos2x+\cos4x)(1+\cos4x).$$ 余弦の積和公式より $\displaystyle \int_0^\pi$$\cos$2x$\cos$4x dx=0。また $$\displaystyle \int_0^\pi\cos2x\,dx=\int_0^\pi\cos4x\,dx=0,\qquad \int_0^\pi\cos^24x\,dx=\frac\pi2.$$ ゆえに $\displaystyle \int_0^\pi$ f^2=7$\pi$/32,　 V=7$\pi^2$/32。

判定

PASS。計算結果と条件を照合した。