1京都大学 2004年 数学 第1問解答・解説

x=$\cos$2$\theta$ とおく。0$\le$2$\theta$$\le$$\displaystyle \frac{3\pi}{2}$ なので x の値域は -1≦x≦1 である。また $$\displaystyle \cos4\theta=2x^2-1,\qquad \sin^2\theta=\frac{1-x}{2},$$ より $$\displaystyle f(\theta)=2x^2+2x-3 =2\left(x+\frac12\right)^2-\frac72.$$ したがって最小値は -7/2。これは x=-1/2、すなわち $\theta$=$\pi$/3, 2$\pi$/3 のときにとる。

この二次関数は上に開くので最大値は x=-1,1 の端点で比較する。値はそれぞれ -3,1 だから最大値は 1。x=1 に対応する範囲内の角は $\theta$=0 である。

判定

PASS。計算結果と条件を照合した。