10自治医科大学 2007年 数学 第10問解答・解説

$0^\circ\leq\theta\leq180^\circ$ なので、$0^\circ\leq2\theta\leq360^\circ$ である。ここで $x=\sin 2\theta$ とおくと、$-1\leq x\leq1$ となる。また、二倍角の公式から $4\sin\theta\cos\theta=2\sin 2\theta=2x$ である。したがって、$$f(\theta)=x^2+2x+5=(x+1)^2+4.$$ $-1\leq x\leq1$ より $0\leq x+1\leq2$ だから、$(x+1)^2\leq4$ であり、$f(\theta)\leq8$ となる。この等号は $x=1$、すなわち $\theta=45^\circ$ のとき実際に成立する。実際、$\displaystyle f(45^\circ)=1+4\cdot\frac12+5=8$ である。よって最大値は $8$（選択肢ラ）である。