2自治医科大学 2007年 数学 第2問解答・解説

$32=2^5$ であるから、$2^a=32^b$ より $2^a=2^{5b}$ となり、底 $2$ の指数関数は一対一なので $a=5b$ である。$u=\log_2 x$ とおくと、$x>0$ および $x^c=2^a$ から $cu=a$ である。条件 $abc\ne0$ より $b,c\ne0$ なので、与えられた式に $a=5b$ を代入して $$\displaystyle \frac{1}{5b}+\frac{1}{b}=\frac{6}{5b}=\frac{2}{c}$$ を得る。分母は0でないから両辺に $5bc$ を掛けて $6c=10b$、したがって $\displaystyle c=\frac{5b}{3}$ である。よって $$\displaystyle u=\frac{a}{c}=\frac{5b}{5b/3}=3,$$ ゆえに $x=2^u=2^3=8$ である。実際、$b=3,\ a=15,\ c=5,\ x=8$ とすれば $2^{15}=32^3=8^5=32768$ かつ $\displaystyle \frac1{15}+\frac13=\frac25$ となり、条件を満たす。したがって答えはラ（8）である。