1鹿児島大学 2002年 数学 第1問解答・解説

(1) $-90^\circ<\theta<90^\circ$ より $\cos\theta>0$ である。また、$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ かつ $\cos^2\theta>0$ より $\sin^2\theta<1$、したがって $|\sin\theta|<1$ である。よって $\displaystyle |\tan\theta|=\dfrac{|\sin\theta|}{\cos\theta}<\dfrac{1}{\cos\theta}$ となる。

(2) $u=3^x$ とおくと $u>0$、$\displaystyle 3^{-x}=\dfrac{1}{u}$ である。したがって、与式は $\displaystyle u-\dfrac{1}{u}=2\tan\theta$、すなわち $u^2-2\tan\theta\,u-1=0$ となる。これを解くと $u=\tan\theta\pm\sqrt{\tan^2\theta+1}$ である。$\sqrt{\tan^2\theta+1}>|\tan\theta|$ だから、正の解は $u=\tan\theta+\sqrt{\tan^2\theta+1}$ のみである。また $\cos\theta>0$ より $\displaystyle \sqrt{\tan^2\theta+1}=\dfrac{1}{\cos\theta}$ なので、$\displaystyle 3^x=\tan\theta+\dfrac{1}{\cos\theta}$。右辺は $\displaystyle \dfrac{1}{\cos\theta}>|\tan\theta|$ より正であるから、$\displaystyle x=\log_3\left(\tan\theta+\dfrac{1}{\cos\theta}\right)$。この値を代入して確かめると、$u=\tan\theta+\sqrt{\tan^2\theta+1}$ の逆数は $\sqrt{\tan^2\theta+1}-\tan\theta$ であり、$u-1/u=2\tan\theta$ が成り立つ。

(3) $\displaystyle x=\dfrac12$ を与式に代入すると、$\displaystyle 2\tan\theta=3^{1/2}-3^{-1/2}=\sqrt3-\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{2}{\sqrt3}$。よって $\displaystyle \tan\theta=\dfrac{1}{\sqrt3}$。$-90^\circ<\theta<90^\circ$ の範囲でこの値をとるのは $\theta=30^\circ$ である。実際、$\tan30^\circ=1/\sqrt3$ である。