5鹿児島大学 2002年 数学 第5問解答・解説

[5-1]

(1) 与えられた式を整理すると $$6E-3M=AB-M+A,\qquad 2M=6E-AB-A.$$ $$AB=\begin{pmatrix}-3&-2\\1&-8\end{pmatrix},\qquad AB+A=\begin{pmatrix}2&4\\4&-4\end{pmatrix}$$ だから $$\displaystyle M=3E-\frac{AB+A}{2}=\begin{pmatrix}2&-2\\-2&5\end{pmatrix}.$$ (2) 直接計算すると $$M^2=\begin{pmatrix}8&-14\\-14&29\end{pmatrix}=7M-6E.$$ 条件は $M^2-(\alpha+\beta)M+\alpha\beta E=O$ と同値なので $$\{7-(\alpha+\beta)\}M+(\alpha\beta-6)E=O.$$ 左辺の非対角成分を比べると $\alpha+\beta=7$、対角成分を比べると $\alpha\beta=6$ である。よって $\alpha,\beta$ は $z^2-7z+6=0$ の2解であり、$\alpha\leq\beta$ より $\alpha=1,\ \beta=6$。

(3) (2)の結果を用い、$M^2=7M-6E$ から $$M^3=43M-42E,\qquad M^4=259M-258E.$$ したがって $$M^5-M^4=M^4(M-E)=(259M-258E)(M-E)=1296(M-E).$$ $M-E\ne O$ だから $u=1296$。

[5-2]

(1) 点 $(x,y)$ から焦点 $(1,1)$ までの距離と直線 $y=-2$ までの距離が等しいから $$\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=|y+2|.$$ 両辺は非負なので2乗してよく、整理すると $$\displaystyle (x-1)^2+(y-1)^2=(y+2)^2,\qquad y=\frac{(x-1)^2}{6}-\frac12 =\frac16x^2-\frac13x-\frac13.$$ よって $\displaystyle a=\frac16,\ b=-\frac13$。

(2) 2焦点の中点は $(1,0)$、焦点間の距離の半分は $c=2$ である。距離の和が12なので長半径は $a=6$。楕円では $b^2=a^2-c^2$ より $b^2=36-4=32$。したがって $$\displaystyle \frac{(x-1)^2}{36}+\frac{y^2}{32}=1,$$ ゆえに $p=36,\ q=32,\ r=1$。

[5-3]

(1) 定義を各項に分けると $$\displaystyle T_n=\frac h2\sum\limits _{j=0}^{n-1}\{f(x_j)+f(x_{j+1})\}=\frac{A_n+B_n}{2}.$$ (2) $h=1/n,\ x_j=j/n$ だから、平方の和の公式を用いて $$\displaystyle A_n=\frac1{n^3}\sum\limits _{j=0}^{n-1}j^2=\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2},\qquad B_n=\frac1{n^3}\sum\limits _{j=1}^{n}j^2=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}.$$ (1)より $$\displaystyle T_n=\frac{A_n+B_n}{2}=\frac{2n^2+1}{6n^2}=\frac13+\frac1{6n^2}.$$ 真の値は $\displaystyle S=\int_0^1x^2\,dx=\frac13$ なので、相対誤差は $$\displaystyle \left|\frac{T_n-S}{S}\right|=\frac1{2n^2}.$$ これが $\displaystyle 0.01=\frac1{100}$ 以下である条件は $n^2\geq50$。したがって最小の自然数は $n=8$（$n=7$ では $1/98>1/100$）。

[5-4]

(1) 定義を展開すると $$\displaystyle \sigma_x^2=\frac1N\sum\limits _{k=1}^N(x_k-\bar{x})^2=E(x^2)-\bar{x}^{,2}.$$ 標準偏差は非負だから $\sigma_x=\sqrt{E(x^2)-\bar{x}^{,2}}$。

(2) 定義を展開して平均を用いると $$\displaystyle \sigma_{xy}=\frac1N\sum\limits _{k=1}^N(x_ky_k-\bar{x}y_k-\bar{y}x_k+\bar{x}\bar{y}) =E(xy)-\bar{x}\bar{y}.$$ (3) 相関係数の定義から $$\displaystyle r=\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y}.$$ (4) 左辺を $F(t)$ とすると $$F(t)=E(y^2)+1-2\bar{y}+E(x^2)t^2+2\{\bar{x}-E(xy)\}t.$$ ここで $E(x^2)\ne0$ かつ $E(x^2)$ は平方の平均なので正である。平方完成すると、$t$ に関係する部分は $$\displaystyle E(x^2)\left(t-\frac{E(xy)-\bar{x}}{E(x^2)}\right)^2 -\frac{\{E(xy)-\bar{x}\}^2}{E(x^2)}.$$ よって最小となるのは $\displaystyle t=\frac{E(xy)-\bar{x}}{E(x^2)}$ のときである。