2鹿児島大学 2002年 数学 第2問解答・解説

（1）部分積分により $$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^x(x-t)\sin t\,dt&=\left[-(x-t)\cos t\right]_0^x-\int_0^x\cos t\,dt\\&=x-\sin x.\end{aligned}$$ したがって $$f(x)=-x+2(x-\sin x)=x-2\sin x.$$

（2） $$f'(x)=1-2\cos x$$ より、$0\le x\le2\pi$ での停留点は $\displaystyle x=\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$ である。$f'(x)$ は $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{3}$ で負、$\displaystyle \frac{\pi}{3}<x<\frac{5\pi}{3}$ で正、$\displaystyle \frac{5\pi}{3}<x<2\pi$ で負となるので、$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$ で極小、$\displaystyle x=\frac{5\pi}{3}$ で極大となる。 $$\displaystyle f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{3}-\sqrt{3},\qquad f\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{5\pi}{3}+\sqrt{3}.$$ 端点では $f(0)=0,\ f(2\pi)=2\pi$ であるから、これらはそれぞれ区間全体での最小値、最大値でもある。

（3） $$\displaystyle P=\left(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}-2\right),\qquad f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.$$ 接線の傾きは $1$ だから、法線の傾きは $-1$ である。よって $$\displaystyle g(x)-\left(\frac{\pi}{2}-2\right)=-\left(x-\frac{\pi}{2}\right),\qquad g(x)=-x+\pi-2.$$ ここで $$g(x)-f(x)=\pi-2-2x+2\sin x$$ とおくと、$\displaystyle 0\le x\le\frac{\pi}{2}$ において $$\displaystyle \frac{d}{dx}\{g(x)-f(x)\}=2(\cos x-1)\le0,\qquad g\left(\frac{\pi}{2}\right)-f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.$$ したがって $g(x)-f(x)$ はこの区間で減少し、右端で $0$ となるから、区間全体で $g(x)-f(x)\ge0$、すなわち $f(x)\le g(x)$ である。

（4）$x=0$ では曲線と $y$ 軸が $(0,0)$ で交わり、法線は $(0,\pi-2)$ で $y$ 軸と交わる。また、（3）よりこの範囲で法線は曲線の上側にあり、$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$ で交わる。よって囲まれた部分の面積は $$\displaystyle \begin{aligned}S&=\int_0^{\pi/2}\{g(x)-f(x)\}\,dx\\&=\int_0^{\pi/2}(\pi-2-2x+2\sin x)\,dx\\&=\left[(\pi-2)x-x^2-2\cos x\right]_0^{\pi/2}\\&=\frac{\pi^2}{4}-\pi+2.\end{aligned}$$