4鹿児島大学 2002年 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle \text{[4-1]}\quad \overrightarrow{OA}=\boldsymbol a,\ \overrightarrow{OB}=\boldsymbol b \text{ とおく。}\ |\boldsymbol b-\boldsymbol a|^2=|\boldsymbol a|^2+|\boldsymbol b|^2-2\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b \text{ より，}\ 49=64+25-2\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b \text{ だから，}\ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=20.\quad P\text{ は }AB\text{ を }2:1\text{ に内分するので，}\ \overrightarrow{OP}=\frac{\boldsymbol a+2\boldsymbol b}{3}.\ \overrightarrow{OE}=k\overrightarrow{OP}\text{ とおく。}E\text{ は }AB\text{ の垂直二等分線上にあるから }|\overrightarrow{OE}-\boldsymbol a|=|\overrightarrow{OE}-\boldsymbol b|\text{ であり，両辺を2乗して整理すると，}\ 2\overrightarrow{OE}\cdot(\boldsymbol b-\boldsymbol a)=|\boldsymbol b|^2-|\boldsymbol a|^2=25-64=-39.\quad (\boldsymbol a+2\boldsymbol b)\cdot(\boldsymbol b-\boldsymbol a)=-34\text{ より，}\ -\frac{68k}{3}=-39,\quad k=\frac{117}{68}.\ \therefore\quad \overrightarrow{OE}=\frac{117}{68}\cdot\frac{\boldsymbol a+2\boldsymbol b}{3}=\frac{39}{68}\overrightarrow{OA}+\frac{39}{34}\overrightarrow{OB},\text{ よって }s=\frac{39}{68},\ t=\frac{39}{34}.\quad \text{[4-2](1)}\quad \frac{\alpha}{\beta}=r\ (r>0)\text{ とおくと，}\alpha=r\beta\text{ だから，}\ |\alpha+\beta|=|(r+1)\beta|=(r+1)|\beta|=|\alpha|+|\beta|.\quad \text{(2)}\quad \gamma=x+yi\ (x,y\text{ は実数})\text{ とおく。条件は }2x=2\sqrt{x^2+y^2}\text{ である。したがって }x=\sqrt{x^2+y^2}\geq0\text{ であり，両辺を2乗すると }y=0\text{ を得る。}\gamma\ne0\text{ だから }x>0\text{ であり，}\gamma\text{ は正の実数である。}\quad \text{(3)}\quad |\alpha+\beta|=|\alpha|+|\beta|\text{ の両辺を2乗すると，}\ \alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta=2|\alpha||\beta|.\quad u=\alpha\overline{\beta}\text{ とおけば }u+\overline u=2|u|\text{ である。}u\ne0\text{ だから(2)より }u\text{ は正の実数である。したがって，}\ \frac{\alpha}{\beta}=\frac{\alpha\overline{\beta}}{|\beta|^2}=\frac{u}{|\beta|^2}\text{ は正の実数である。}\quad \text{[4-3](1)}\quad 2\text{枚の選び方は }\binom n2=\frac{n(n-1)}2\text{ 通りで，いずれも同様に確からしい。}(a)\text{では該当する組は }1\text{通り，}(b)\text{では }Y=1,2,\ldots,t-1\text{ の }t-1\text{通り，}(c)\text{では }X=s+1,s+2,\ldots,n\text{ の }n-s\text{通りである。}(d)\text{では }Y=1,2,\ldots,\lfloor n/3\rfloor\text{ の各値に対し }X=3Y\text{ と定まり，該当する組は }\lfloor n/3\rfloor\text{ 通りである。よって，}\ \begin{aligned}P(X=t,Y=s)&=\frac{1}{\binom n2}=\frac{2}{n(n-1)},\\ P(X=t)&=\frac{t-1}{\binom n2}=\frac{2(t-1)}{n(n-1)},\\ P(Y=s)&=\frac{n-s}{\binom n2}=\frac{2(n-s)}{n(n-1)},\\ P(X=3Y)&=\frac{\lfloor n/3\rfloor}{\binom n2}=\frac{2\lfloor n/3\rfloor}{n(n-1)}.\end{aligned}\quad \text{(2)}\quad \text{全ての組における }X+Y\text{ の総和では，各数字 }k\ (1\leq k\leq n)\text{ が }n-1\text{組に現れる。したがって，}\ \begin{aligned}E(X)+E(Y)&=E(X+Y)\\&=\frac{(n-1)(1+2+\cdots+n)}{\binom n2}\\&=\frac{(n-1)\cdot n(n+1)/2}{n(n-1)/2}=n+1.\end{aligned}$$