鹿児島大学／2002年度／前期

鹿児島大学 2002年数学第3問解答・解説

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1問題

鹿児島大学2002年度第3問

次の3問のうちから1問を選択して解答せよ。解答用紙の所定の欄に解答する問題の番号を記入すること。　 [3-1] $a,b$ は自然数とする。 $a$ を8で割った余りを $r$ ， $b$ を8で割った余りを $s$ とする。このとき，次の各問いに答えよ。

(1) $a+b$ を8で割った余りと $r+s$ を8で割った余りが等しいことを示せ。

(2) $a^2$ を8で割った余りと $r^2$ を8で割った余りが等しいことを示せ。

(3) 平方数を8で割ったとき，余りとして得られる数をすべて求めよ。ただし，平方数とは自然数の平方となっている数のことである。

(4) 2つの平方数の和を8で割ると余りは3にはならないことを示せ。　 [3-2] 数列 $\{a_n\}$ は $a_1=6,\quad a_{n+1}=a_n+16n+8\quad(n=1,2,3,\ldots)$ により定まるものとして，次の各問いに答えよ。

(1) 一般項 $a_n$ を求めよ。

(2) 次の等式が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ。 $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\quad(n=1,2,3,\ldots)$ 　 (3) 和 $a_1+2a_2+3a_3+\cdots+na_n$ を求めよ。　 [3-3] 次の各問いに答えよ。

(1) $\triangle PQR$ の辺 $QR$ 上の点 $S$ が $\overline{PQ}:\overline{PR}=\overline{QS}:\overline{SR}$ を満たすとき， $\angle QPS=\angle RPS$ が成り立つことを証明せよ。ただし， $\overline{PQ}$ は線分 $PQ$ の長さを表すものとし，他も同様とする。

(2) $AD\parallel BC,\ \overline{AD}<\overline{BC}$ を満たす台形 $ABCD$ がある。辺 $BC$ 上の点 $F$ は $\overline{BA}:\overline{BD}=\overline{BF}:\overline{BC},\ AF\parallel DC$ を満たしているとする。このとき， $AF$ と $BD$ の交点を $G$ とすると， $\triangle BAG$ は二等辺三角形であることを証明せよ。

(3) (2)の条件のもとで，辺 $AD$ 上の点 $E$ は $\overline{BA}:\overline{BD}=\overline{AE}:\overline{ED}$ を満たしているとする。このとき， $BE$ と $AF$ は直交することを証明せよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

3-1 整数の余り $a=8q+r$ , $b=8t+s$ とし、 $r+s=8u+v$ ( $0\le v\le7$ ) とすれば、 $a+b=8(q+t+u)+v$ 。よって (1) の余りは等しい。(2) は $a^2-r^2=(8q+r)^2-r^2=8(8q^2+2qr)$ より従う。 $r=0,1,\ldots,7$ に対する $r^2$ の余りは $0,1,4,1,0,1,4,1$ なので、平方数の余りは $0,1,4$ 。 $8^2,1^2,2^2$ が各値を実現する。(4) ではこれらの2つの和の余りは $0,1,2,4,5$ だけなので、3は生じない。

3-2 数列差を加えると $\displaystyle a_n=6+\sum\limits _{k=1}^{n-1}(16k+8)=8n^2-2.$ 立方和の式は $n=1$ で成立し、帰納法の仮定から $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n+1}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3 =\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$ を得る。これを用いて $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n ka_k=8\sum\limits _{k=1}^n k^3-2\sum\limits _{k=1}^n k =n(n+1)\{2n(n+1)-1\}.$

3-3 図形角の二等分線と $QR$ の交点を $T$ とする。 $PQT,PRT$ の高さの比は相似な直角三角形から $PQ:PR$ 。共通の高さを底辺 $QT,TR$ に対して使えば $QT:TR=PQ:PR=QS:SR$ なので、 $S=T$ 。従って $PS$ は角の二等分線である。

次に $AFDC$ は $AF\parallel DC$ 、 $FC\parallel AD$ より平行四辺形。 $FC=AD<BC$ から $F$ は辺 $BC$ の内点で、 $GF\parallel DC$ 。三角形 $BGF$ と $BDC$ の相似、および $BA:BD=BF:BC$ より $BG=BA$ 。したがって $BAG$ は二等辺三角形。

最後に $AE:ED=BA:BD$ から角の二等分線の定理の逆により $BE$ は $\angle ABD$ の二等分線。(2) の $BA=BG$ と $B,G,D$ の一直線性により、これは二等辺三角形 $ABG$ の頂角二等分線でもある。従って $BE\perp AG$ 。 $A,G,F$ が一直線上なので $BE\perp AF$ 。

この問題で使う考え方

約数・倍数
三角形の性質
角の二等分線の性質
漸化式
総和記号と数列の和
数学的帰納法

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