2三重大学 2011年 数学 第2問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} \text{(1)}\quad a_2&=\frac12(c+1)+1=\frac{c+3}{2},\\ a_3&=\frac23\cdot\frac{c+3}{2}+1=\frac c3+2,\\ a_4&=\frac34\left(\frac c3+2\right)+1=\frac c4+\frac52. \end{aligned}$$ 一般項を $\displaystyle a_n=\frac{c}{n}+\frac{n+1}{2}$ と推定する。 これを証明するため b_n=na_n とおくと、漸化式から $b_{n+1}=(n+1)a_{n+1}=na_n+n+1=b_n+n+1$ b_1=a_1=c+1 なので、 $\displaystyle b_n=c+1+\sum\limits _{k=1}^{n-1}(k+1)=c+\frac{n(n+1)}{2}$ したがって a_n=$\displaystyle \frac{b_n}{n}$=$\displaystyle \frac cn$+$\displaystyle \frac{n+1}{2}$. 帰納法でも確認できる。n=1 では成立し、 a_n=$\displaystyle \frac cn$+$\displaystyle \frac{n+1}{2}$ と仮定すると、 a_{n+1}=$\displaystyle \frac n{n+1}$$\displaystyle \left(\frac cn+\frac{n+1}{2}\right)$+1=$\displaystyle \frac c{n+1}$+$\displaystyle \frac{n+2}{2}$, よって n+1 でも成立する。 (2) c=324 とすると a_n=$\displaystyle \frac{324}{n}$+$\displaystyle \frac{n+1}{2}$. まず n が奇数なら (n+1)/2 は整数なので、$a_n\text{ が自然数であるための必要十分条件は、}n\text{ が }324\text{ の約数であること}$. 324=2^2$\cdot$3^4 より、奇数の候補は n=3^k (k=0,1,2,3,4). 次に n が偶数なら (n+1)/2 は半整数であり、 a_n=$\displaystyle \frac12$$\displaystyle \left(\frac{648}{n}+n+1\right)$ が整数となる条件は 648/n が奇整数であること。 648=2^3$\cdot$3^4 なので、n=8$\cdot$3^k (k=0,1,2,3,4). 以上より n=1,3,8,9,24,27,72,81,216,648.