4三重大学 2011年 数学 第4問解答・解説

問題 $f(x)=-1/(2x)+\tan x,\ g(x)=x\cos(x^2)$。訂正により (2) の区間は $[0,\sqrt{\pi/2}]$。一意な根 $\alpha$、増減、逆関数積分を求める。

解答 (1) $f'(x)=1/(2x^2)+\sec^2x>0$。端で $f\to-\infty,+\infty$ だから、$0<\alpha<\pi/2$ を満たす根 $\alpha$ がただ一つある。根の条件は $2\alpha\tan\alpha=1$。

(2) $g'(x)=\cos(x^2)(1-2x^2\tan(x^2))$。$u=x^2$ とおくと括弧の符号は $f(u)$ と反対。よって $\beta=\sqrt{\alpha}$ で極大となり、$g$ は $0\le x\le\beta$ で増加、$\beta\le x\le\sqrt{\pi/2}$ で減少する。値は $0,\sqrt\alpha\cos\alpha,0$。

(3) 逆関数との面積関係から $$\displaystyle \int_0^{g(\beta)}h(y)\,dy =\beta g(\beta)-\int_0^\beta x\cos(x^2)\,dx =\alpha\cos\alpha-\frac12\sin\alpha.$$ 訂正告知は印刷された $[0,\pi/2]$ を $[0,\sqrt{\pi/2}]$ に直しているため、その訂正に従った。