三重大学 2011年数学第3問解答・解説

図形と方程式数学的な表現の工夫

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1問題

三重大学2011年度第3問

t を実数として2次正方行列 Aₜ = ((1, −t), (t, 1)) を考える。

(1) すべての実数 t に対し Aₜ が逆行列を持つことを示し，その逆行列 Aₜ⁻¹ を求めよ。

(2) 各実数 t に対し座標平面上の点 (xₜ, yₜ) を条件 (xₜ, yₜ)ᵀ = Aₜ⁻¹(1, 0)ᵀ によって定める。t がすべての実数を動くとき (xₜ, yₜ) が描く図形を求めて図示せよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$\det(A_t)=1+t^2>0$ なので全実数tで可逆。 $\displaystyle A_t^{-1}=\frac{1}{1+t^2}\begin{pmatrix}1&t\\-t&1\end{pmatrix}$ .
(2)
$\displaystyle \left(x_t,y_t\right)=\left(\frac{1}{1+t^2},-\frac{t}{1+t^2}\right)$ 。軌跡は中心 $\displaystyle \left(\frac12,0\right)$ 、半径1/2の円から原点を除いた図形。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 2次正方行列が逆行列をもつ条件は行列式が0でないことです。det(A_t)=1・1−(−t)・t=1+t²で、どの実数tでも1+t²>0です。したがってA_tは常に可逆です。実際、A_t[[1,t],[-t,1]]=[[1+t²,0],[0,1+t²]]=(1+t²)I と直接確かめられるので、逆行列は A_t^{-1}=1/(1+t²)[[1,t],[-t,1]] となります。

(2) 定義式の右辺を計算すると x_t=1/(1+t²), y_t=−t/(1+t²) です。よって x_t²+y_t²=(1+t²)/(1+t²)²=1/(1+t²)=x_t だから、軌跡は x²+y²=x、すなわち (x−1/2)²+y²=(1/2)² です。ただし有限のtではx_t=1/(1+t²)>0なので原点にはなりません。逆にこの円上で原点以外の点はx>0であり、t=−y/xとおけば元の表示に戻るので、円の他の点はすべて現れます。したがって答えは原点を除いた円です。図では中心(1/2,0)、半径1/2の円を描き、原点を白丸にします。

この問題で使う考え方

2次行列の逆行列公式
媒介変数消去と逆向きの復元

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