5筑波大学 2011年 数学 第5問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) }\boldsymbol{v}=\binom13,\ \boldsymbol{w}=A\boldsymbol{v}=\binom{10}{10}\text{ とおく。}A^2-7A+10E=O\text{ より }A^2=7A-10E\text{ だから、}\\A\boldsymbol{w}=A^2\boldsymbol{v}=7A\boldsymbol{v}-10\boldsymbol{v}=7\binom{10}{10}-10\binom13=\binom{60}{40}.\\\text{よって求める点は }(60,40)\text{ である。}\\\text{(2) }A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\text{ とする。}\ A\binom13=\binom{10}{10}\text{ から }a+3b=10,\ c+3d=10.\text{ また (1) より }A\binom{10}{10}=\binom{60}{40}\text{ なので }a+b=6,\ c+d=4.\\a+b=6\text{ と }a+3b=10\text{ を解くと }b=2,\ a=4.\ c+d=4\text{ と }c+3d=10\text{ を解くと }d=3,\ c=1.\text{ 実際、}A=\begin{pmatrix}4&2\\1&3\end{pmatrix}\text{ では }A^2=\begin{pmatrix}18&14\\7&11\end{pmatrix}\text{ であり }A^2-7A+10E=O\text{ も満たす。}\\\text{(3) }(X,Y)=A(x,y)=(4x+2y,\ x+3y)\text{ とする。垂直でない直線を }y=mx+k\text{ とおくと、その上の点が移った先も同じ直線上にある条件は}\\x+3(mx+k)=m\{4x+2(mx+k)\}+k\quad\text{がすべての }x\text{ で成立することである。}\\\text{係数比較により }1+3m=4m+2m^2,\quad 3k=2mk+k.\text{ 前者は }(2m-1)(m+1)=0\text{ より }m=\frac12\text{ または }m=-1\text{。後者は }2(1-m)k=0\text{ であり、どちらの }m\text{ も }1\text{ でないので }k=0.\\\text{垂直線 }x=c\text{ は }X=4c+2y\text{ がその上で変化するため不変でない。よって不変な直線は }y=\frac{x}{2}\text{ と }y=-x\text{ の二つである。}$$