1筑波大学 2011年 数学 第1問解答・解説

(1) $O=(0,0)$, $A=(t,1)$ とする。垂直二等分線上の点 $(x,y)$ は $O,A$ から等距離だから $$x^2+y^2=(x-t)^2+(y-1)^2.$$ 整理して $$\displaystyle 2tx+2y=t^2+1,\qquad y=-tx+\frac{t^2+1}{2}\quad(|t|\geq1).$$

(2) 固定した $x$ における、媒介変数 $t$ の直線の高さは $$\displaystyle y_t(x)=-tx+\frac{t^2+1}{2}=\frac{(t-x)^2+1-x^2}{2}.$$ $t$ は $t\le-1$ または $t\ge1$ の範囲を動くので、$(t-x)^2$ の最小値は、$|x|\geq1$ のとき0、$|x|\leq1$ のとき $(1-|x|)^2$ である。従って各 $x$ に対する最小の $y$ は $$\displaystyle y_{\min}(x)=\begin{cases} \dfrac{1-x^2}{2},&|x|\geq1,\\[4pt] \dfrac{(1-|x|)^2+1-x^2}{2}=1-|x|,&|x|\leq1. \end{cases}$$ 許される $t$ を各半直線上で最小点から無限遠へ動かすと $y_t(x)$ は連続に無限大まで増えるため、通過範囲はこの境界以上の全点である。境界は $(-1,0),(0,1),(1,0)$ を結ぶ2線分と、$|x|\geq1$ における放物線 $y=(1-x^2)/2$ の枝からなり、その上側を含める。

(1) $O=(0,0)$, $A=(t,1)$ とする。垂直二等分線上の点 $(x,y)$ は $O,A$ から等距離だから $$x^2+y^2=(x-t)^2+(y-1)^2.$$ 整理して $$\displaystyle 2tx+2y=t^2+1,\qquad y=-tx+\frac{t^2+1}{2}\quad(|t|\geq1).$$

(2) 固定した $x$ における、媒介変数 $t$ の直線の高さは $$\displaystyle y_t(x)=-tx+\frac{t^2+1}{2}=\frac{(t-x)^2+1-x^2}{2}.$$ $t$ は $t\le-1$ または $t\ge1$ の範囲を動くので、$(t-x)^2$ の最小値は、$|x|\geq1$ のとき0、$|x|\leq1$ のとき $(1-|x|)^2$ である。従って各 $x$ に対する最小の $y$ は $$\displaystyle y_{\min}(x)=\begin{cases} \dfrac{1-x^2}{2},&|x|\geq1,\\[4pt] \dfrac{(1-|x|)^2+1-x^2}{2}=1-|x|,&|x|\leq1. \end{cases}$$ 許される $t$ を各半直線上で最小点から無限遠へ動かすと $y_t(x)$ は連続に無限大まで増えるため、通過範囲はこの境界以上の全点である。境界は $(-1,0),(0,1),(1,0)$ を結ぶ2線分と、$|x|\geq1$ における放物線 $y=(1-x^2)/2$ の枝からなり、その上側を含める。