3筑波大学 2011年 数学 第3問解答・解説

$s=\sin\alpha,\ c=\cos\alpha,\ t=\tan\alpha$ とおく。円の中心は $O=(0,-s)$、半径は1である。直線の方向ベクトルを長さ1にすると $(c,s)$ なので、交点は $$O+(c,s)=(c,0),\qquad O-(c,s)=(-c,-2s).$$ また $r(x)=\sqrt{1-x^2}$ は偶関数であり、 $$\displaystyle 2\int_c^1r(x)\,dx+\int_{-c}^{c}r(x)\,dx =2\int_0^1r(x)\,dx=\frac{\pi}{2}.$$ 最後の積分は半径1の円の右上四分円の面積である。

領域 $D$ は $x$ 軸以下にある。 $-c\le x\le c$ では縦断面の上端は直線 $y=tx-s$、下端は円 $y=-s-r(x)$。$c\le x\le1$ では $r(x)\le s$ で、円の縦断面全体が $D$ に含まれる。回転後は外半径 $s+r$、内半径 $s-r$ の円環となり、断面積は $\pi((s+r)^2-(s-r)^2)=4\pi sr$。 $$\displaystyle V=\pi\int_{-c}^{c}\bigl((s+r)^2-(s-tx)^2\bigr)\,dx +4\pi s\int_c^1r(x)\,dx.$$ 第1積分では $2stx$ は奇関数なので積分が0となり、$r^2=1-x^2$ と $1+t^2=1/c^2$ を使うと $$\displaystyle V=2\pi s\left(\int_{-c}^{c}r(x)\,dx+2\int_c^1r(x)\,dx\right) +\pi\int_{-c}^{c}\left(1-\frac{x^2}{c^2}\right)\,dx.$$ 第1項は問(2)から $\pi^2s$。第2項は $$\displaystyle \pi\left(2c-\frac{2c}{3}\right)=\frac{4\pi c}{3}.$$ したがって $$\displaystyle \boxed{V=\pi^2\sin\alpha+\frac{4\pi}{3}\cos\alpha}.$$

答え

(1) $(\cos\alpha,0),\,(-\cos\alpha,-2\sin\alpha)$。　 (2) 等式は $\pi/2$。　 (3) $\displaystyle V=\pi^2\sin\alpha+\frac{4\pi}{3}\cos\alpha$。