筑波大学 2011年数学第6問解答・解説

1問題

筑波大学2011年度第6問

d を正の定数とする。2 点 $A(-d, 0)$ ， $B(d, 0)$ からの距離の和が 4d である点 P の軌跡として定まる楕円 E を考える。点 A，点 B，原点 O から楕円 E 上の点 P までの距離をそれぞれ AP，BP，OP と書く。このとき，以下の問いに答えよ。

(1) 楕円 E の長軸と短軸の長さを求めよ。

(2) $AP^{2} + BP^{2}$ および $AP \cdot BP$ を, OP と d を用いて表せ。

(3) 点 P が楕円 E 全体を動くとき, $AP^{3} + BP^{3}$ の最大値と最小値を d を用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

楕円の半軸と標準方程式を用い、距離二乗の和・積をOPで表す。三乗和をAP+BP、二乗和、積で因数分解し、OP²の範囲から極値を得る。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) 長軸 $4d,\quad$ 短軸 $2\sqrt3d.\qquad$ (2) $AP^2+BP^2=2(OP^2+d^2),\quad AP\cdot BP=7d^2-OP^2.\qquad$ (3) 最大値 $28d^3,\quad$ 最小値 $16d^3.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \text{(1) 焦点距離を }c=d\text{、半長軸を }a_E\text{ とすると }2a_E=4d\text{ より }a_E=2d.\text{楕円の関係 }b_E^2=a_E^2-c^2\text{ から }b_E^2=4d^2-d^2=3d^2.\text{よって長軸・短軸の長さは}\quad2a_E=4d,\quad2b_E=2\sqrt3d.\quad\text{(2) }P=(x,y),\ r=OP\text{ とおくと}\quad AP^2=r^2+2dx+d^2,\quad BP^2=r^2-2dx+d^2,\quad AP^2+BP^2=2(r^2+d^2).\text{楕円の方程式 }\frac{x^2}{4d^2}+\frac{y^2}{3d^2}=1\text{ と }r^2=x^2+y^2\text{ より}\quad r^2=3d^2+\frac{x^2}{4},\quad3d^2\le r^2\le4d^2,\quad x^2=4r^2-12d^2.\text{したがって}\quad(AP\cdot BP)^2=AP^2BP^2=(r^2+d^2)^2-4d^2x^2=(r^2-7d^2)^2.\text{ここで }r^2\le4d^2<7d^2\text{ かつ距離の積は正なので}\quad AP\cdot BP=7d^2-r^2.\quad\text{(3) }AP+BP=4d\text{ だから}\quad AP^3+BP^3=(AP+BP)(AP^2-AP\cdot BP+BP^2)=4d\{2(r^2+d^2)-(7d^2-r^2)\}=4d(3r^2-5d^2).\text{ }3d^2\le r^2\le4d^2\text{ なのでこれは }r^2\text{ とともに増加する。ゆえに}\quad\min(AP^3+BP^3)=4d(9d^2-5d^2)=16d^3,\quad\max(AP^3+BP^3)=4d(12d^2-5d^2)=28d^3.\text{最小値は }P=(0,\pm\sqrt3d)\text{、最大値は }P=(\pm2d,0)\text{ で達成する。}$

この問題で使う考え方

楕円
焦点と準線
座標による距離
軌跡

1問題

2考え方

3答え

4解答

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