5鹿児島大学 2015年 旧教育課程 数学 第5問解答・解説

5-1(1)　 与えられた連立方程式は $$2x-y=2,\qquad -4x+2y=-4$$ である。第2式は第1式の両辺を $-2$ 倍した式なので、解は $2x-y=2$ を満たす点すべてである。例えば $(x,y)=(0,-2),(1,0)$ はともにこの式を満たし、異なる2点である。したがって、条件を満たす点は2つ以上ある。

5-1(2)　 成分ごとに比較すると $$(3a-k)x+y=0,\qquad 2x+(4-k)y=0$$ を得る。$k=4$ なら第2式から $x=0$、続いて第1式から $y=0$ となり、原点以外の解はない。そこで $k\ne4$ とすると、第2式より $$\displaystyle y=-\frac{2x}{4-k}.$$ 非零解では $x\ne0$ であるから、これを第1式に代入して $$\displaystyle 3a-k-\frac{2}{4-k}=0.$$ よって $$\displaystyle a=\frac13\left(k+\frac{2}{4-k}\right) =\frac{4k-k^2+2}{3(4-k)}\qquad(k\ne4).$$ この値をとれば任意の $x\ne0$ に対して上の $y$ が定まり、実際に原点以外の解が存在する。

5-1(3)　 $$A=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&2\end{pmatrix},\qquad M=\begin{pmatrix}\sqrt2&-\sqrt2\\ \sqrt2&\sqrt2\end{pmatrix}$$ とおく。$A$ の第2行は第1行の $-2$ 倍なので、求める条件は $\displaystyle M^n\binom{x}{y}$ の第1成分と第2成分が等しいことである。直接計算すると $$M^2=\begin{pmatrix}0&-4\\4&0\end{pmatrix},\quad M^3=\begin{pmatrix}-4\sqrt2&-4\sqrt2\\4\sqrt2&-4\sqrt2\end{pmatrix},\quad M^4=-16I.$$ $n=4q+r\ (r=0,1,2,3)$ と書けば $M^n=(-16)^qM^r$ であり、係数 $(-16)^q$ は0でないから、条件は $r$ だけで決まる。第1成分から第2成分を引くと、$r=0,1,2,3$ に応じて $$x-y,\qquad -2\sqrt2\,y,\qquad -4(x+y),\qquad -8\sqrt2\,x$$ となる。これらが0となる条件は、それぞれ $$x=y,\qquad y=0,\qquad x+y=0,\qquad x=0$$ である。

5-2(1)　 円を $x$ 方向に $a$ 倍すると、できる楕円の半径方向の長さは、$x$ 軸方向が $ar$、$y$ 軸方向が $r$ である。したがって楕円の方程式は $$\displaystyle \frac{x^2}{a^2r^2}+\frac{y^2}{r^2}=1.$$ $a>1$ なら長軸は $x$ 軸方向で、焦点の中心からの距離の2乗は $(ar)^2-r^2=r^2(a^2-1)$ だから、焦点は $(\pm r\sqrt{a^2-1},0)$ である。$0<a<1$ なら長軸は $y$ 軸方向で、焦点は $(0,\pm r\sqrt{1-a^2})$ となる。$a=1$ は円であり、2焦点はともに原点である。

5-2(2)　 平方完成すると $$\displaystyle y=\left(x-\frac{\sqrt2}{\cos\theta}\right)^2+ \frac{\sin2\theta}{\cos^2\theta}.$$ よって頂点を $(X,Y)$ とすると $$\displaystyle X=\frac{\sqrt2}{\cos\theta},\qquad Y=\frac{\sin2\theta}{\cos^2\theta}=2\tan\theta.$$ $\cos\theta\ne0$ なので、三角関数の関係式から $$\displaystyle \frac{X^2}{2}-\frac{Y^2}{4} =\frac{1}{\cos^2\theta}-\tan^2\theta=1,$$ したがって $2X^2-Y^2=4$ である。逆に、この双曲線上では $X\ne0$ であり、$t=Y/2$ とおくと $X^2/2=1+t^2$ となる。したがって $\tan\theta=t$ かつ $\cos\theta$ の符号が $X$ と一致する $\theta$ を $0\le\theta\le2\pi$ の範囲から選べるので、双曲線の全点が頂点として得られる。求める曲線は $$2x^2-y^2=4$$ である。

5-2(3)　 円の中心は初め $(3,3)$ である。滑らずに角 $\theta$ だけ回転すると、円の進む距離は半径 $3$ と回転角 $\theta$ の積 $3\theta$ なので、中心は $(3+3\theta,3)$ に移る。点 $P$ の中心からの位置ベクトルは初め $(-3,0)$ であり、正の $x$ 方向へ転がると時計回りに回転するから、回転後は $(-3\cos\theta,3\sin\theta)$ である。したがって $$\displaystyle x=3+3\theta-3\cos\theta,\qquad y=3+3\sin\theta \quad\left(0<\theta<\frac{\pi}{2}\right).$$

5-3(1)　 1回の試行で2枚とも表となる確率は $1/4$、そうでない確率は $3/4$ である。$1\le k\le n-1$ では、最初の $k-1$ 回で2枚とも表が出ず、$k$ 回目に2枚とも表が出る必要がある。各回の試行は独立なので $$\displaystyle P(X_n=k)=\left(\frac34\right)^{k-1}\frac14.$$ また、$n\ge4$ より $X_n>3$ であることは最初の3回とも2枚同時の表が出ないことと同値である。したがって $$\displaystyle P(X_n>3)=\left(\frac34\right)^3=\frac{27}{64}.$$

5-3(2)　 $X_n=n$ となるのは、少なくとも最初の $n-1$ 回に2枚とも表が出ない場合である。第 $n$ 回の結果にかかわらずこの条件なら試行回数は $n$ で終わるので、 $$\displaystyle P(X_n=n)=\left(\frac34\right)^{n-1}.$$

5-3(3)　 $0\le j\le n-1$ について、$X_n>j$ となるのは最初の $j$ 回に2枚とも表が一度も出ない場合であり、 $$\displaystyle P(X_n>j)=\left(\frac34\right)^j.$$ 整数値 $X_n$ は $\displaystyle X_n=\sum\limits _{j=0}^{n-1}\mathbf{1}_{\{X_n>j\}}$ と表せる。各項の平均を足すと $$\displaystyle E_n=\sum\limits _{j=0}^{n-1}\left(\frac34\right)^j =4\left\{1-\left(\frac34\right)^n\right\}.$$ よって $$\displaystyle E_{n+1}-E_n =4\left\{\left(\frac34\right)^n-\left(\frac34\right)^{n+1}\right\} =\left(\frac34\right)^n.$$

5-4(1)　 各 $X_i$ は効果があれば1、なければ0をとり、$P(X_i=1)=p$ である。したがって $$E(X_i)=p,\qquad \operatorname{Var}(X_i)=p(1-p).$$ 患者を無作為に選んだ試行は独立とみなせるので、 $$\displaystyle E(\overline X)=\frac1n\sum\limits _{i=1}^nE(X_i)=p,\qquad \operatorname{Var}(\overline X) =\frac1{n^2}\sum\limits _{i=1}^n\operatorname{Var}(X_i) =\frac{p(1-p)}n.$$

5-4(2)　 標本比率は $\widehat p=320/400=0.8$ である。標本が十分大きいので、標本比率の標準誤差を $$\displaystyle \sqrt{\frac{\widehat p(1-\widehat p)}{400}} =\sqrt{\frac{0.8\cdot0.2}{400}}=0.02$$ と見積もる。標準正規分布の対称性と $P(Z<-1.96)=0.025$ から、95%信頼区間は $$0.8\pm1.96\cdot0.02=0.8\pm0.0392,$$ すなわち丸める前は $0.7608\le p\le0.8392$ である。小数第3位を四捨五入すると $$0.76\le p\le0.84$$ を得る。