1鹿児島大学 2015年 旧教育課程 数学 第1問解答・解説

PDF p1医学科を含む新旧課程共通冊子。p10は旧課程の印刷問1（管理ID Q6）。旧課程受験者に許可される問題である。

(1) SATTUNで子音はS,T,Nである。先頭SまたはNでは残りにTが2個あり、先頭Tでは残りは全て異なる。よって $$\displaystyle 2\frac{5!}{2!}+5!=240.$$ (2) 内接する円の中心を$O,O'$とする。$OO'=O'P=O'Q=r$、$OP=2r$である。$O'Q\perp QB$と$\angle PQB=60^\circ$より二等辺三角形$O'PQ$の底角は$30^\circ$。したがって$\angle PO'Q=120^\circ$、$\angle OO'Q=60^\circ$であり、$OO'Q$は正三角形である。ゆえに$OQ=r$、$\angle QOP=60^\circ$。余弦定理から $$PQ^2=(2r)^2+r^2-2(2r)r\cos60^\circ=3r^2.$$ また$OP^2=OQ^2+PQ^2$なので$OQ\perp PQ$。中心から弦$PM$への垂線は弦を二等分し、$QM=PQ=\sqrt3r$。 (3) $P$なら$f(x)=(x-1)(x-3)$より$Q$が成り立つ。一方$f(x)=2(x-1)(x-3)$は$Q$を満たすが$P$を満たさない。よって十分条件だが必要条件ではなく、選択肢(b)。