2鹿児島大学 2015年 旧教育課程 数学 第2問解答・解説

(1) 共通の値を$K$とおく。$K=3^a>0$である。また、もし$K=1$なら$3^a=3^0$より$a=0$となり、仮定に反する。したがって$K\ne1$であり、$\log K\ne0$である。対数の性質から$\log K=a\log3=b\log5=c\log7=d\log105$なので、$$\displaystyle \frac1a=\frac{\log3}{\log K},\quad \frac1b=\frac{\log5}{\log K},\quad \frac1c=\frac{\log7}{\log K},\quad \frac1d=\frac{\log105}{\log K}.$$ よって$\log105=\log3+\log5+\log7$を用いると$$\displaystyle \frac1a+\frac1b+\frac1c=\frac{\log3+\log5+\log7}{\log K}=\frac{\log105}{\log K}=\frac1d$$となる。

(2)(a) それぞれ積分すると$$\displaystyle S=\left[-\frac{3m}{2}x^2+2nx\right]_0^2=-6m+4n,\qquad T=\left[2x^3-nx^2-mx\right]_0^2=16-4n-2m.$$

(2)(b) 条件$S\ge0, T\ge0$より$2n\ge3m$,$2n+m\le8$である。したがって$3m\le2n\le8-m$より$m\le2$。また$2n+m\le8$から$\displaystyle n\le4-\frac m2$なので$$\displaystyle m+n\le4+\frac m2\le5.$$ この上限は$m=2,n=3$で実現し、このとき$S=T=0$で条件を満たす。よって最大となるのは$m=2,n=3$である。