3鹿児島大学 2015年 旧教育課程 数学 第3問解答・解説

高校範囲・方法　 漸化式を偶数・奇数で分けて扱う。奇数の和を用いて一般項を求め、交互和は隣接項を組にして差を望遠和にする。

(1) $n$ が奇数なら $(-1)^{n+1}=1$ なので $a_{n+1}-a_n=n$。偶数なら $(-1)^{n+1}=-1$ なので $a_{n+1}-a_n=0$。したがって $$a_2=a_1+1=1,\quad a_3=a_2=1,\quad a_4=a_3+3=4,\quad a_5=a_4=4.$$ $$\boxed{(a_2,a_3,a_4,a_5)=(1,1,4,4)}.$$

(2) 奇数段階でだけ増加する。$n\ge1$ に対して $$\displaystyle c_n=a_{2n}=1+3+5+\cdots +(2n-1)=\sum\limits _{j=1}^n(2j-1)=n^2,$$ ここで最後の等式は $\displaystyle \sum\limits _{j=1}^n2j-n=n(n+1)-n=n^2$ による。 $b_n=a_{2n-1}$ では加算される奇数が最初の $n-1$ 個なので、空和となる $n=1$ も含め $$\displaystyle b_n=\sum\limits _{j=1}^{n-1}(2j-1)=(n-1)^2.$$ 従って $$\boxed{b_n=(n-1)^2,\qquad c_n=n^2\quad(n\ge1)}.$$

(3) $a_{2k}=k^2$、$a_{2k-1}=(k-1)^2$ を使い、$n=1,\ldots,50$ を25組にすると $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{50}(-1)^n a_n =\sum\limits _{k=1}^{25}(a_{2k}-a_{2k-1}) =\sum\limits _{k=1}^{25}\bigl(k^2-(k-1)^2\bigr) =\sum\limits _{k=1}^{25}(2k-1)=25^2.$$ $$\displaystyle \boxed{\displaystyle\sum\limits _{n=1}^{50}(-1)^n a_n=625}.$$

独立判定　 (1)–(3)の漸化式・一般項・和を独立計算し、数学はPASS。単元：数学B・数列。方法：偶奇の場合分け、奇数和、隣接項の差の望遠和。テーマ：偶数項・奇数項で増分が切り替わる数列。