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信州大学／2015年度

信州大学 2015年 数学 第6問解答・解説

図形と方程式数列

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1問題

信州大学2015年度第6問

円x² + (y − 1)² = 1をC，円(x − 2)² + (y − 1)² = 1をC₀とする。C，C₀，x軸に接する円をC₁とする。C，C₁，x軸に接しC₀と異なる円をC₂とし，これを繰り返してC，Cₙ，x軸に接しCₙ₋₁と異なる円をCₙ₊₁とする。また，円Cₙの半径をaₙとする。このとき，次の問いに答えよ。

(1) a₁を求めよ。

(2) bₙ = 1/√aₙとするとき，数列{bₙ}の満たす漸化式を求めよ。

(3) 数列{aₙ}の一般項を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

中心座標を用いて、x軸とCに接する各円の中心座標と半径を関係づける。隣接円の外接条件からbnb_nの差を導き、前項と異なる円を選ぶ条件で符号を定める。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1) a1=14.\displaystyle \space{}a_1=\frac14.\quad (2) b1=2, bn+1=bn+1 (n≧1).\space{}b_1=2,\space{}b_{n+1}=b_n+1\space{}(n\ge1).\quad (3) an=1(n+1)2 (n≧1).\displaystyle \space{}a_n=\frac{1}{(n+1)^2}\space{}(n\ge1).

4解答

解答を見る途中式つきの解答

各円 Cn の中心を Pn=(xn,an) とする。 Cn は x 軸と接し、固定円 C に外接する右側の円なのでxn2+(an−1)2=(an+1)2,xn=2an.(1) C1 の C0 への外接から (x1−2)2+(a1−1)2=(a1+1)2, よって (x1−2)2=4a1=x12. 右側にあるので x1=1、したがって a1=x124=14.(2) b1=1/a1=2. Cn,Cn+1 の外接を用いると(xn+1−xn)2+(an+1−an)2=(an+1+an)2.xk=2ak を代入して整理すれば (an+1−an)2=anan+1, すなわち (bn+1−bn)2=1. よって候補は bn+1=bn±1 である。n=1 では b1=2 に対する候補 1,3 のうち、1 は C0（半径 1）に当たり、C2≠C0 より b2=3. 一般に bn−1=bn−1 なら、二候補 bn−1,bn+1 の前者は Cn−1 なので、定義から bn+1=bn+1. したがって漸化式は bn+1=bn+1 (n≧1), b1=2.(3) bn=2+(n−1)=n+1 より、 an=1/bn2=1/(n+1)2 (n≧1).\displaystyle \text{各円 }C_n\text{ の中心を }P_n=(x_n,a_n)\text{ とする。}\ C_n\text{ は }x\text{ 軸と接し、固定円 }C\text{ に外接する右側の円なので} x_n^2+(a_n-1)^2=(a_n+1)^2,\quad x_n=2\sqrt{a_n}. \text{(1) }C_1\text{ の }C_0\text{ への外接から }(x_1-2)^2+(a_1-1)^2=(a_1+1)^2,\text{ よって }(x_1-2)^2=4a_1=x_1^2.\text{ 右側にあるので }x_1=1\text{、したがって }a_1=\frac{x_1^2}{4}=\frac14. \text{(2) }b_1=1/\sqrt{a_1}=2.\ C_n,C_{n+1}\text{ の外接を用いると} (x_{n+1}-x_n)^2+(a_{n+1}-a_n)^2=(a_{n+1}+a_n)^2. x_k=2\sqrt{a_k}\text{ を代入して整理すれば }(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n})^2=a_na_{n+1},\text{ すなわち }(b_{n+1}-b_n)^2=1.\text{ よって候補は }b_{n+1}=b_n\pm1\text{ である。} n=1\text{ では }b_1=2\text{ に対する候補 }1,3\text{ のうち、}1\text{ は }C_0\text{（半径 }1\text{）に当たり、}C_2\ne C_0\text{ より }b_2=3.\text{ 一般に }b_{n-1}=b_n-1\text{ なら、二候補 }b_n-1,b_n+1\text{ の前者は }C_{n-1}\text{ なので、定義から }b_{n+1}=b_n+1.\text{ したがって漸化式は }b_{n+1}=b_n+1\ (n\ge1),\ b_1=2. \text{(3) }b_n=2+(n-1)=n+1\text{ より、}\ a_n=1/b_n^2=1/(n+1)^2\ (n\ge1).

この問題で使う考え方

  • 円の方程式
  • 漸化式
  • 数学的帰納法

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