2東海大学 2019年 1日目 数学 第2問解答・解説

第2問

空欄の答えは $$\displaystyle \boxed{\text{ア}=\frac{3p^2}{4}},\quad \boxed{\text{イ}=\frac{3a_n^2}{4}},\quad \boxed{\text{ウ}=\frac94},\quad \boxed{\text{エ}=\frac{2a_n}{2+3a_n}},\quad \boxed{\text{オ}=b_n+\frac32},\quad \boxed{\text{カ}=\frac{2}{3n-1}},$$ $$\displaystyle \boxed{\text{キ}=\frac{9\pi a_n^4}{16}},\qquad \boxed{\text{ク}=\frac\pi9}$$ である。

agraph{(1)} 円 $C_0$ の半径は $1/3$。中心 $(p,q)$ の円は $x$ 軸の上側にあり半径は $q$ である（下側なら中心間距離と半径の和の等式から $p=0$ となり、正の範囲で外接する条件に反する）。外接条件を距離の二乗で書くと $$\displaystyle p^2+\left(q-\frac13\right)^2=\left(q+\frac13\right)^2.$$ これを整理して $\displaystyle p^2=\frac43q$、ゆえに $\displaystyle q=\frac{3p^2}{4}$ を得る。

agraph{(2)} (1)より、中心の $x$ 座標が $a_n$ である円の半径は $$\displaystyle r_n=\frac{3a_n^2}{4}.$$ 同じく $r_{n+1}=3a_{n+1}^2/4$。2円の中心間距離の二乗と外接条件から $$(a_n-a_{n+1})^2+(r_n-r_{n+1})^2=(r_n+r_{n+1})^2,$$ したがって $$\displaystyle (a_n-a_{n+1})^2=4r_nr_{n+1} =\frac94a_n^2a_{n+1}^2.$$ ここで全ての $a_n$ は正なので、$b_n=1/a_n$ と置けば $$\displaystyle |b_n-b_{n+1}|=\frac32.$$ まず $a_1=1$、すなわち $b_1=1$。正の $b_2$ は $b_1\pm3/2$ のうち $5/2$ である。以後、隣り合う $b$ の差は常に $3/2$ である。$b_{n+1}=b_{n-1}$ に当たる選択は $a_{n+1}=a_{n-1}$、すなわち $C_{n+1}=C_{n-1}$ を意味して問題の条件に反する。よって各段階で前と同じ向きに進み、帰納的に $$\displaystyle b_{n+1}=b_n+\frac32, \qquad b_n=1+\frac32(n-1)=\frac{3n-1}{2}.$$ したがって $$\displaystyle a_{n+1}=\frac1{b_n+3/2}=\frac{2a_n}{2+3a_n}, \qquad a_n=\frac2{3n-1}.$$

agraph{(3)} 半径の式から $$\displaystyle S_n=\pi r_n^2=\frac{9\pi a_n^4}{16} =\frac{9\pi}{(3n-1)^4}.$$ ゆえに $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}n^4S_n =9\pi\lim\limits _{n\to\infty}\left(\frac{n}{3n-1}\right)^4 =\frac{9\pi}{3^4}=\frac\pi9.$$

agraph{検算} $a_1=1$、$a_2=2/5$ となり、$(a_1-a_2)^2=9/25=(9/4)a_1^2a_2^2$ と接線条件の式に一致する。また半径は $r_1=3/4$、$r_2=3/25$。中心間距離の二乗は $(3/5)^2+(3/4-3/25)^2=(3/5)^2+(63/100)^2=(87/100)^2=(r_1+r_2)^2$ であり、最初の2円が確かに外接する。面積についても $S_n=9\pi/(3n-1)^4$ から同じ極限 $\pi/9$ が得られる。