V日本大学 2025年 数学 第V問解答・解説

第5問

$m=\sqrt3-1$とおき、$A_k=(x_k,0)$とする。$B_k$は直線$y=mx$上で$A_k$と同じ$x$座標をもつので$B_k=(x_k,mx_k)$である。

(1) 正方形の隣り合う辺$A_kA_{k+1}$と$A_{k+1}B_{k+1}$はそれぞれ水平・垂直で、その長さは$x_k-x_{k+1}$と$mx_{k+1}$。よって $$\displaystyle x_k-x_{k+1}=mx_{k+1},\qquad x_{k+1}=\frac{x_k}{1+m}=\frac{x_k}{\sqrt3}.$$ $x_0=a$より$\displaystyle x_1=\dfrac{\sqrt3}{3}a$。

(2) 上の関係から$x_k=a\,3^{-k/2}$であり、正方形の一辺は$x_k-x_{k+1}=a(1-1/\sqrt3)3^{-k/2}$。従って $$\displaystyle S_k=a^2\left(1-\frac1{\sqrt3}\right)^2 3^{-k} =\frac{4-2\sqrt3}{3}a^2 3^{-k}.$$ 等比数列の和を用いると $$\displaystyle T_n=\frac{4-2\sqrt3}{3}a^2\frac{1-3^{-(n+1)}}{1-1/3} =(2-\sqrt3)a^2(1-3^{-(n+1)}).$$ よって $$\displaystyle \frac{T_7}{T_3}=\frac{1-3^{-8}}{1-3^{-4}} =1+3^{-4}=\frac{82}{81}.$$

(3) $n\to\infty$で$3^{-(n+1)}\to0$なので、極限が1となる条件は $$(2-\sqrt3)a^2=1.$$ $a>0$より $$\displaystyle a=\frac1{\sqrt{2-\sqrt3}}=\sqrt{2+\sqrt3} =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2}.$$ 最後の等式は右辺が正で、その2乗が$2+\sqrt3$となることから従う。 $$\displaystyle \boxed{(1)\ \frac{\sqrt3}{3}a,\qquad (2)\ \frac{82}{81},\qquad (3)\ \frac{\sqrt6+\sqrt2}{2}}$$ 検算：(1) $a_1/a=1/\sqrt3$。(2) 先頭4項和に第4〜7項を加える比は$1+(1/3)^4$。(3) 表した$a$の2乗は$2+\sqrt3=1/(2-\sqrt3)$で、極限は1。