II日本大学 2025年 数学 第II問解答・解説

第2問

袋には赤玉3個、青玉4個、白玉5個の計12個があり、同時に取り出す2個の組合せは $$\displaystyle \binom{12}{2}=66$$ 通りで、どれも同様に確からしい。

(1) 同じ色の2個となる組合せは、赤同士、青同士、白同士のそれぞれ $$\displaystyle \binom32=3,\qquad \binom42=6,\qquad \binom52=10$$ 通りである。したがって異なる色となる組合せは $$66-(3+6+10)=47$$ 通りであり、求める確率は $$\displaystyle \frac{47}{66}.$$ 分子・分母に共通因数はないので既約である。

(2) 条件事象（異なる色）の場合の数は47通り。(そのうち)赤玉がちょうど1個含まれる組合せは、赤青が$3\cdot4=12$通り、赤白が$3\cdot5=15$通りなので、計27通りである。従って条件付き確率は $$\displaystyle \frac{27}{47}.$$

$$\displaystyle \boxed{(1)\ \frac{47}{66},\qquad (2)\ \frac{27}{47}}$$ 検算：(1) 異なる色の数を直接数えても赤青12、赤白15、青白20で合計47通り。(2) 27通りは全47通りの条件事象に含まれ、$27/47$は既約分数である。