VI日本大学 2025年 数学 第VI問解答・解説

第6問

(1) $u>0$での接線の傾きは$f'(u)=2\ln u/u$である。接線の方程式は $$\displaystyle y=(\ln u)^2+\frac{2\ln u}{u}(x-u).$$ この直線が原点を通る条件は $$0=(\ln u)^2-2\ln u=\ln u(\ln u-2).$$ 解は$u=1,e^2$だが、傾きが正という条件から$u>1$でなければならず、$u=e^2$に定まる。従って $$P=(e^2,f(e^2))=(e^2,4).$$

(2) 面積 線分$OP$の方程式は$y=4x/e^2$。曲線がこの線分より下にあることを確認する。$s=\ln x$とおくと、$1\le x\le e^2$では$0\le s\le2$であり、 $$\displaystyle \frac{d}{ds}(s^2e^{2-s})=s(2-s)e^{2-s}\ge0.$$ 従って$s^2e^{2-s}\le4$、すなわち$(\ln x)^2\le4x/e^2$である。よって面積は線分の下の面積から曲線の下の面積を引いて $$\displaystyle \begin{aligned} \text{面積}(D) &=\int_0^{e^2}\frac{4x}{e^2}\,dx-\int_1^{e^2}(\ln x)^2\,dx\\ &=2e^2-\left[x\{(\ln x)^2-2\ln x+2\}\right]_1^{e^2}\\ &=2e^2-(2e^2-2)=2. \end{aligned}$$

体積 高さ$y$で水平に切ると、$0\le y\le4$における図形の$x$座標は $$\displaystyle \frac{e^2y}{4}\le x\le e^{\sqrt y}.$$ 実際、左端は直線$OP$上、右端は曲線$y=(\ln x)^2$上である（$x\ge1$では$\ln x\ge0$）。回転軸は$y$軸なので、この断面は内半径$e^2y/4$、外半径$e^{\sqrt y}$の円環である。円環の面積を積分すると $$\displaystyle \begin{aligned} V &=\pi\int_0^4\left(e^{2\sqrt y}-\left(\frac{e^2y}{4}\right)^2\right)dy\\ &=\pi\left(\left[e^{2v}\left(v-\frac12\right)\right]_{v=0}^{2}-\frac{e^4}{16}\left[\frac{y^3}{3}\right]_0^4\right)\quad(v=\sqrt y)\\ &=\pi\left(\frac32e^4+\frac12-\frac43e^4\right) =\left(\frac{e^4}{6}+\frac12\right)\pi. \end{aligned}$$ $$\displaystyle \boxed{\text{面積}(D)=2,\qquad V=\left(\frac{e^4}{6}+\frac12\right)\pi}$$ 検算：接点では$f(e^2)=4$、$e^2f'(e^2)=4$なので、接線の切片$f(u)-u f'(u)$は0となる。傾き$4/e^2$は正。体積の積分結果$e^4/6+1/2$も正である。