5広島大学 2024年 数学 第5問解答・解説

$x+\sqrt{1+x^2}>0$ であるから $f$ は定義される。微分すると $$\displaystyle f'(x)=\frac{1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}} =\frac1{\sqrt{1+x^2}},\qquad f''(x)=-\frac{x}{(1+x^2)^{3/2}}.$$ したがって $x>0$ で $f''(x)<0$ であり，曲線 $y=f(x)$ は上に凸である。

$f(0)=0$ である。(2)の上側については，$x\ge0$ で $f'(x)\le1$ より $$\displaystyle f(x)=\int_0^x f'(t)\,dt\le\int_0^x1\,dt=x.$$ また $\displaystyle g(x)=f(x)-\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ とおくと， $$\displaystyle g(0)=0,\qquad g'(x)=\frac{x^2}{(1+x^2)^{3/2}}\ge0\quad(x\ge0).$$ よって $g(x)\ge0$，すなわち $$\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\le f(x)\le x\quad(x\ge0).$$ なお $x>0$ では両側とも不等号は厳しい。

(3) 部分積分により $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^{3/4}f(x)\,dx =\left[xf(x)\right]_0^{3/4}-\int_0^{3/4}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx\\ &=\frac34\log2-\left[\sqrt{1+x^2}\right]_0^{3/4} =\frac34\log2-\frac14. \end{aligned}$$

$L=\log2$ とおく。(4)で $\displaystyle A=(\frac34,L)$，また $\displaystyle f'(\frac34)=\frac45$ だから，接線 $\ell$ は $$\displaystyle y-L=\frac45\left(x-\frac34\right),\qquad y=\frac45x+L-\frac35.$$ これと $y=x$ との交点は $$B=(b,b),\qquad b=5L-3.$$ $(2)$を $\displaystyle x=\frac34$ に適用すると $\displaystyle \frac35<L<\frac34$ であり，したがって $\displaystyle 0<b<\frac34$。四角形 $ABOC$ の面積を座標で計算して $$\displaystyle \begin{aligned} T&=\frac12\left(\frac34b-Lb+\frac34L\right)\\ &=\frac12\left\{\frac34(5L-3)-L(5L-3)+\frac34L\right\}\\ &=-\frac52L^2+\frac{15}{4}L-\frac98. \end{aligned}$$

最後に，$0\le x\le b$ では (2) より $f(x)\le x$ であり，$\displaystyle b\le x\le\frac34$ では (1)より接線 $\ell$ が曲線 $y=f(x)$ の上側にある。したがって，曲線の下側の面積 $S$ は四角形 $ABOC$ の面積 $T$ より小さく，$S<T$ である。上で求めた式を用いると $$\displaystyle 0<T-S=\frac{-20L^2+24L-7}{8} =-\frac52\left(L-\frac12\right)\left(L-\frac7{10}\right).$$ よって $\displaystyle \frac12<L<\frac7{10}$。さらに (2) から $\displaystyle L>\frac35$ なので $$\displaystyle \frac35<\log2<\frac7{10}.$$ ゆえに $\log2$ の小数第1位の数字は $6$ である。