広島大学 2024年数学第2問解答・解説

1問題

広島大学2024年度第2問

座標空間内の4点 $O(0,0,0)$ ， $A(1,1,0)$ ， $B(0,1,1)$ ， $C(1,2,-1)$ に対し， $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$ ， $\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$ ， $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$ とおく。次の問いに答えよ。

(1) 内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ ， $\vec{a}\cdot\vec{c}$ ， $\vec{b}\cdot\vec{c}$ の値を求めよ。

(2) 点 $O,A,B$ を通る平面を $\alpha$ とする。点 $C$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線と平面 $\alpha$ の交点を $M$ とする。点 $M$ の座標を求めよ。

(3) 点 $M$ を(2)で定めた点とする。点 $D$ を直線 $CM$ 上の点であって $\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right|$ となるものとする。ただし，点 $D$ は点 $C$ とは異なる点である。このとき，点 $D$ の座標を求めよ。

(4) 点 $D$ を(3)で定めた点とする。三角形 $CAD$ の面積 $S$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\vec a\cdot\vec b=1,\quad\vec a\cdot\vec c=3,\quad\vec b\cdot\vec c=1$ 。(2) $\displaystyle M=(\frac53,\frac43,-\frac13)$ 。(3) $\displaystyle D=(\frac73,\frac23,\frac13)$ 。(4) $\displaystyle S=\frac{2\sqrt2}{3}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 成分ごとに積を足して $\boxed{\vec a\cdot\vec b=1,\quad\vec a\cdot\vec c=3,\quad\vec b\cdot\vec c=1}.$ (2) 平面 $OAB$ の点は $\lambda\vec a+\mu\vec b=(\lambda,\lambda+\mu,\mu)$ なので、平面の式は $x-y+z=0$ 。逆にこの式の点は $\lambda=x$ , $\mu=z$ として表される。 $\vec n=(1,-1,1)$ は $\vec a,\vec b$ と内積0だから平面に垂直である。よって垂線上では $(x,y,z)=(1,2,-1)+t(1,-1,1).$ 平面式へ代入すると $3t-2=0$ 。従って $\boxed{M=(5/3,4/3,-1/3)}$ 。 (3) $D=C+s(1,-1,1)$ とおく。 $\overrightarrow{AC}=(0,1,-1)$ 、 $\overrightarrow{AD}=(s,1-s,-1+s)$ なので、長さが等しい条件は $2=s^2+(1-s)^2+(-1+s)^2=3s^2-4s+2.$ $s=0$ は $D=C$ なので除外し $s=4/3$ 。従って $\boxed{D=(7/3,2/3,1/3)}$ 。 (4) 両辺 $AC,AD$ の長さは $\sqrt2$ 、その内積は $-2/3$ 。挟角 $\theta$ について $\cos\theta=-1/3$ 、 $\sin\theta=2\sqrt2/3$ 。ゆえに $\displaystyle S=\frac12AC\cdot AD\sin\theta=\boxed{\frac{2\sqrt2}{3}}.$

この問題で使う考え方

内積
平面の媒介表示
垂線の交点
三角形の面積

1問題

2答え

3解答

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