2宮崎大学 2022年 数学 第2問解答・解説

$\overrightarrow{OP}=\vec p$ とおくと、$\overrightarrow{AP}=\vec p-\vec a$、$\overrightarrow{BP}=\vec p-\vec b$、$\overrightarrow{CP}=\vec p-\vec c$ である。条件に代入して $$3\vec p+8(\vec p-\vec a)+7(\vec p-\vec b)+(\vec p-\vec c)=\vec 0$$ より、$19\vec p=8\vec a+7\vec b+\vec c$。したがって $$\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac{8\vec a+7\vec b+\vec c}{19}.$$ 平面 $ABC$ 上の点の位置ベクトルは、$\vec a,\vec b,\vec c$ の係数の和が $1$ となる形で表される。直線 $OP$ 上の点 $X$ を $\overrightarrow{OX}=t\overrightarrow{OP}$ とおくと、係数の和は $16t/19$ である。これが $1$ となるのは $t=19/16$ のときだから、 $$\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac{19}{16}\overrightarrow{OP}=\frac{8\vec a+7\vec b+\vec c}{16} =\frac12\vec a+\frac7{16}\vec b+\frac1{16}\vec c.$$ よって、$Q$ は三角形 $ABC$ に関して頂点 $C$ の係数が $1/16$ である。

$ABC$ は一辺 $1$ の正三角形なので、その面積は $\sqrt3/4$ である。$AB$ から測った符号付きの高さは、点の位置ベクトルの係数に関して一次的に変化する。$A,B$ の高さは $0$、$C$ の高さは正三角形の高さ $\sqrt3/2$ だから、$Q$ の高さは $(1/16)(\sqrt3/2)=\sqrt3/32$。したがって $$\displaystyle [ABQ]=\frac12\cdot AB\cdot\frac{\sqrt3}{32}=\frac{\sqrt3}{64}.$$

正四面体の辺の長さが $1$ であるから、$|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1$、また $\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec c=\vec c\cdot\vec a=1/2$ である。重心 $G$ について $\overrightarrow{OG}=(\vec a+\vec b+\vec c)/3$ だから、 $$\displaystyle \overrightarrow{OG}\cdot(\vec b-\vec a) =\frac13\{(\vec a\cdot\vec b-|\vec a|^2)+(|\vec b|^2-\vec b\cdot\vec a)+(\vec c\cdot\vec b-\vec c\cdot\vec a)\}=0.$$ 同様に $\overrightarrow{OG}\cdot(\vec c-\vec a)=0$。$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$ と $\overrightarrow{AC}=\vec c-\vec a$ は平面 $ABC$ 内の平行でない二方向なので、$\overrightarrow{OG}$ は平面 $ABC$ に垂直である。

$AG$ は正三角形 $ABC$ の中線の $2/3$ であり、中線の長さは $\sqrt3/2$ なので $AG=\sqrt3/3$。直角三角形 $OAG$ で $OA=1$ より $$\displaystyle OG=\sqrt{OA^2-AG^2}=\sqrt{1-\frac13}=\frac{\sqrt6}{3}.$$ また $\overrightarrow{OP}=(16/19)\overrightarrow{OQ}$ であり、$Q$ は平面 $ABC$ 上にある。したがって、点 $P$ から平面 $ABC$ までの距離は、$O$ から同平面までの距離 $OG$ の $1-16/19=3/19$ 倍であり、$\sqrt6/19$ である。よって四面体 $PABQ$ の体積は $$\displaystyle \frac13[ABQ]\cdot\frac{\sqrt6}{19} =\frac13\cdot\frac{\sqrt3}{64}\cdot\frac{\sqrt6}{19} =\frac{\sqrt2}{1216}.$$ 最終結果は、位置ベクトルの係数和、正三角形の高さ、および体積比からも整合する。