1宮崎大学 2022年 数学 第1問解答・解説

$t=2^x>0$、$y=t+t^{-1}$ とおく。相加相乗平均より $y\ge2$。また $$t^3+t^{-3}=y^3-3y,\qquad t^2+t^{-2}=y^2-2.$$ したがって、与えられた左辺は $$y^3-3y-(y^2-2)-11=(y-3)(y^2+2y+3)$$ と因数分解できる。$y^2+2y+3=(y+1)^2+2>0$ だから、不等式は $y\ge3$ と同値である。

よって $t+t^{-1}\ge3$。$t>0$ を掛けると $t^2-3t+1\ge0$ となる。この二次式の根は $(3\pm\sqrt5)/2$ なので $$\displaystyle 0<t\le\frac{3-\sqrt5}{2}\quad\text{または}\quad t\ge\frac{3+\sqrt5}{2}.$$ $t=2^x$ は増加関数で、$(3-\sqrt5)/2=((3+\sqrt5)/2)^{-1}$。したがって $$\displaystyle x\le-\log_2\frac{3+\sqrt5}{2}\quad\text{または}\quad x\ge\log_2\frac{3+\sqrt5}{2}.$$