1山口大学 2003年 数学 第1問解答・解説

単元・方法・テーマ

(1) 数学III「指数関数・極限」：$u=e^x>0$ と置き、二次式として扱う。テーマは指数関数を含む方程式と極限。

(2) 数学III「微分法・指数関数」：導関数の符号で増減と最小値を調べ、端での極限と切片を使って概形を描く。テーマは指数関数型の関数の増減・極値・グラフ。

(1) $u=e^x$ と置くと $u>0$ で $$f(x)=u^2-2u=u(u-2).$$ 従って $f(x)=0$ は $u=2$、すなわち $x=\log 2$ である。また $x\to\infty$ では $u\to\infty$ なので $u^2-2u\to\infty$、一方 $x\to-\infty$ では $u\to0^+$ なので $u^2-2u\to0$。よって $$\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}f(x)=\infty,\qquad \lim\limits _{x\to-\infty}f(x)=0.$$ 左側の極限では $f(x)=u(u-2)<0$ となる範囲で $0$ に近づく。

(2) 導関数は $$f'(x)=2e^{2x}-2e^x=2e^x(e^x-1).$$ 常に $e^x>0$ だから、$x<0$ で $f'(x)<0$、$x=0$ で $f'(x)=0$、$x>0$ で $f'(x)>0$。従って $f$ は $x\le0$ で減少し、$x\ge0$ で増加する。最小値は $$f(0)=1-2=-1$$ であり、これを $x=0$ でとる。

グラフは、左端で $y=0$ に下側から近づき、$(0,-1)$ まで減少し、そこから増加して $(\log 2,0)$ を通り、右へ行くと $\infty$ に向かう。増減表は $$\begin{array}{c|ccc} x&-\infty&0&+\infty\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ f(x)&0\searrow&-1&\nearrow+\infty \end{array}$$ となる（変曲点は求めていない）。