2山口大学 2003年 数学 第2問解答・解説

agraph{(1) 正値性。}漸化式を $$a_{n+1}(2a_n+3)=a_n$$ と変形する。$n=1$ では $a_1=1>0$。ある $n$ で $a_n>0$ とすると $2a_n+3>0$ だから $$\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+3}>0.$$ よって数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ で $a_n>0$。

agraph{(2) 一般項。}正値性により $a_n$ で割ることができ、 $$\displaystyle \frac1{a_{n+1}}=\frac{2a_n+3}{a_n}=2+\frac3{a_n}.$$ したがって $b_n=1/a_n+1$ に対し $$\displaystyle b_{n+1}=\frac1{a_{n+1}}+1=3+\frac3{a_n}=3b_n.$$ 初項は $b_1=2$ なので、等比数列の一般項は $$b_n=2\cdot3^{n-1}.$$ 最後に $b_n=1/a_n+1$ を解いて $$\displaystyle a_n=\frac1{b_n-1}=\frac1{2\cdot3^{n-1}-1}.$$