山口大学 2003年数学第3問解答・解説

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1問題

山口大学2003年度第3問配点 50点

次の問いに答えよ。ただし、 $a,b$ は実数とする。

(1) 積分 $\displaystyle \int_0^1 x\cos(\pi x)\,dx$ を計算せよ。

(2) 積分 $\displaystyle I=\int_0^1\left\{\cos(\pi x)-(ax+b)\right\}^2\,dx$ を $a,b$ を用いて表せ。

(3) $a,b$ の値を変化させたときの $I$ の最小値、およびそのときの $a,b$ の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$\displaystyle -\frac{2}{\pi^2}$
(2)
$\displaystyle I=\frac{a^2}{3}+ab+b^2+\frac{4a}{\pi^2}+\frac12$
(3)
$\displaystyle I_{\min}=\frac12-\frac{48}{\pi^4}$ 。 $\displaystyle a=-\frac{24}{\pi^2},\quad b=\frac{12}{\pi^2}$ で達成。

解答を見る途中式つきの解答

Iを展開し、積分を一つずつ計算する。(1)の部分積分値からaの交差項を求め、Iをa,bの二次式に直す。最後は二つの非負平方の和に平方完成して、最小値とそのときのa,bを確定する。

この問題で使う考え方

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