10千葉大学 2003年 数学 第10問解答・解説

$g(x)=x^n\log x-x$ とおく。すると $$g'(x)=n x^{n-1}\log x+x^{n-1}-1=x^{n-1}(n\log x+1)-1.$$ $0<x<1$ では、$n\log x+1\le 0$ なら積 $x^{n-1}(n\log x+1)<1$ であり、$n\log x+1>0$ なら $0<x^{n-1}<1$ かつ $0<n\log x+1<1$ なのでやはりその積は $1$ 未満である。したがって $g'(x)<0$。一方 $x>1$ では $x^{n-1}>1$、$n\log x+1>1$ より $g'(x)>0$。よって $g$ は $x=1$ で最小となり、$g(1)=-1$ である。

$a=0$ なら $f\equiv0$ で最小値は $-1$ にならない。また $a<0$ なら $x\to\infty$ で $g(x)\to\infty$ より $f(x)=ag(x)\to-\infty$ となり、最小値をもたない。従って $a>0$ であり、$f$ の最小値は $-a$。これが $-1$ だから $a=1$。

部分積分により $$\displaystyle \int x^n\log x\,dx=\frac{x^{n+1}\log x}{n+1}-\frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}.$$ したがって $$\displaystyle \begin{aligned} \int_1^e f(x)\,dx &=\left[\frac{x^{n+1}\log x}{n+1}-\frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}-\frac{x^2}{2}\right]_1^e\\ &=\frac{n e^{n+1}+1}{(n+1)^2}-\frac{e^2-1}{2}. \end{aligned}$$