5千葉大学 2003年 数学 第5問解答・解説

$A=(u,u^2), B=(v,v^2),u<v$ とおく。直線ABの式は $y=(u+v)x-uv$。$u\le x\le v$ では放物線との差が $(x-u)(v-x)$ なので、囲まれる面積は $$\displaystyle S=\int_u^v(x-u)(v-x)\,dx=\frac{(v-u)^3}{6}.$$ $S=1/6$ より $v-u=1$。$t=(u+v)/2$ とおけば $u=t-1/2,v=t+1/2$ で、$t$ は全実数を動く。このとき直線ABは $$\displaystyle y=2tx-t^2+\frac14.$$ 点 $(x,y)$ がいずれかの直線に属する条件は、$t^2-2xt+y-1/4=0$ が実根を持つこと。判別式から $$\displaystyle 4x^2-4(y-1/4)\ge0\quad\text{すなわち}\quad y\le x^2+\frac14.$$ 逆にこの不等式を満たす点なら実数 $t$ が取れ、それに対応する端点は横座標差1だから面積条件も満たす。対象は線分ABではなく直線ABなので、点の横座標が両端点の間にあるという条件は付けない。

求める範囲は下図の放物線以下の全領域（境界を含む）。