1名古屋大学 2021年 数学 第1問解答・解説

解説

$C_1$ の接線は微分から $y=2tx-t^2$ と表せます。傾きを $m$ と置くと、その切片は $-m^2/4$ です。$C_2$ の接線も傾きを $m$ として接点の $x$ 座標を $s$ とおけば、微分から $s=2a-m/2$ と決まり、切片は $4a^4-2am+m^2/4$ です。切片を等しくする二次方程式が異なる2実根を持つ条件から、$0<a<1/\sqrt2$ が得られます。

二つの傾きの和と積を使うと、接線の交点は $(a,2a^4)$ です。接点は $t_-=a-a\sqrt{1-2a^2}$ と $t_+=a+a\sqrt{1-2a^2}$ で、直線 $x=a$ は交点の真上側を切り、左側の面積は $t_-$ の接線と放物線の差を積分すれば求まります。差が $(x-t_-)^2$ となるため、$S(a)=a^3(1-2a^2)^{3/2}/3$ です。

最後は $u=a^2$ と置き、$u(1-2u)$ の最大を調べます。最大は $u=1/4$、すなわち $a=1/2$ で、面積は $1/(48\sqrt2)$ です。