2名古屋大学 2021年 数学 第2問解答・解説

(1) 底の変換公式より $$\displaystyle \alpha\beta\gamma=\frac{\log3}{\log2}\frac{\log5}{\log3}\frac{\log2}{\log5}=\boxed{1}.$$ (2) $2<\sqrt5$、$3<5$、$5^2<3^3$、$3^2>2^3$ より、それぞれ $$\displaystyle \gamma<\frac12<1<\beta<\frac32<\alpha.$$ 従って $\boxed{\gamma<\beta<\delta<\alpha}$。 (3) (1)より $1/\alpha=\beta\gamma$ などが成り立つので $$q=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha,\qquad f(x)=(x+\alpha)(x+\beta)(x+\gamma).$$ (2)の大小関係を用いて3因子の符号を調べると $$\begin{array}{c|ccc|c} x&x+\alpha&x+\beta&x+\gamma&f(x)\\\hline -1/2&+&+&-&-\\ -1&+&+&-&-\\ -3/2&+&-&-&+ \end{array}$$ 従って $\boxed{f(-1/2)<0,\ f(-1)<0,\ f(-3/2)>0}$。