信州大学 2003年数学第5問解答・解説

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1問題

信州大学2003年度第5問

関数 f(x) の導関数 f′(x) の定義は以下の式で与えられる。 f′(x)=lim_{h→0} [f(x+h)−f(x)]/h たとえば，関数 3x² の導関数 (3x²)′ を求めると以下のようになる。 (3x²)′=lim_{h→0} [3(x+h)²−3x²]/h = lim_{h→0}(6x+3h)=6x 導関数の定義式を用いて，対数関数 logₐx の導関数は (logₐx)′=1/(x log a) で与えられることを示せ。ただし，a>0 かつ a≠1 とし，x>0 とする。ここで，log a は a の自然対数であり，その底は e=lim_{h→0}(1+h)^(1/h) で与えられる。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

すべての $x>0$ について $\displaystyle\frac{d}{dx}\log_a x=\frac1{x\log a}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

任意の $x>0$ を固定する。 $a>0, a\ne1$ より $\log a\ne0$ 。 $0<|h|<x$ とすれば $x+h>0$ であり、底の変換公式から差商は $\displaystyle \frac{\log_a(x+h)-\log_a x}{h} =\frac{\log(x+h)-\log x}{h\log a} =\frac{1}{x\log a}\frac{\log(1+h/x)}{h/x}.$ $u=h/x$ と置く。問題文の $\displaystyle e=\lim\limits _{u\to0}(1+u)^{1/u}$ と対数の指数法則より $\displaystyle \frac{\log(1+u)}{u}=\log\bigl((1+u)^{1/u}\bigr)\longrightarrow\log e=1.$ ここでは対数関数の連続性を用いた。 $h\to0$ なら $u\to0$ だから、定義式の差商の極限は $\displaystyle (\log_a x)'=\frac{1}{x\log a}\qquad(x>0).$

この問題で使う考え方

導関数の定義からの極限
底の変換
対数極限

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