2信州大学 2003年 数学 第2問解答・解説

原点 O を出発して x 軸上を動く点 P がある。P は1つのさいころを投げるごとに右（正方向）か左（負方向）へ1進む。 出発点 O を P₀ とし，さいころを k 回投げるときに点 P が動いた点を順に P₁, P₂, …, Pₖ とする。このとき，P₀, P₁, …, Pₖ₋₁ を点 P が通った点とよぶことにする。 点 P が座標 a の点にいるとき，P は次の規則に従って動くものとする。 (ア) 点 P が座標 a+1 と a−1 の2点とも通ったことがあるか，または一度も通ったことがなければ，1, 2, 3 の目で左へ1動き，4, 5, 6 の目で右へ1動く。 (イ) 点 P が座標 a−1 の点のみ通ったことがあり a+1 の点は通ったことがないときには，1, 2, 3, 4 の目で左へ1動き，5, 6 の目で右へ1動く。 (ウ) 点 P が座標 a+1 の点のみ通ったことがあり a−1 の点は通ったことがないときには，1, 2 の目で左へ1動き，3, 4, 5, 6 の目で右へ1動く。 たとえば，1回目にさいころを投げたときには，点 P は座標が1と−1のどちらの点も通ったことがないので，（ア）の規則から左右どちらかに同じ確率で1動く。その結果右に動いたとすれば，次にさいころを投げるときには（イ）の規則によって1, 2, 3, 4の目で左へ1動き，5, 6の目で右へ1動く。 このとき，次の問に答えよ。

(1) さいころを2回投げたあとで，点 P が原点 O にいる確率を求めよ。

(2) さいころを6回投げたあとで，点 P が原点 O にいる確率を求めよ。