3山口大学 2002年 数学 第3問解答・解説

(1) 1秒後に同じ位置にあるのは、PとQが同じ向きへ進む場合に限る。各点の進行方向は独立なので $$\displaystyle P(\text{一致})=\left(\frac14\right)^2+\left(\frac14\right)^2+\left(\frac12\right)^2=\boxed{\frac38}.$$

(2) 1人の動点について、3秒間に北向き（$y$ 軸正方向）へ進んだ回数を $k$、東西方向の合計変位を $d$ とする。このとき $k$ は相手の動点と同じでなければならず、初期位置の差が $Q-P=(2,0)$ なので、東西変位は $d_P-d_Q=2$ を満たす必要がある。

各点について、$k$ 回の北向きの時刻を選び、残る $3-k$ 回のうち東向きの回数を $(3-k+d)/2$ 回にする。従って、この $(k,d)$ の確率は $$\displaystyle p_k(d)=\binom{3}{k}\binom{3-k}{(3-k+d)/2}\left(\frac12\right)^k\left(\frac14\right)^{3-k},$$ ただし二項係数の下段が整数でない場合、または許される範囲外なら確率は0である。$P,Q$ の動きは独立なので、条件を満たす確率は $\displaystyle \sum\limits _{k,d}p_k(d)p_k(d+2)$。

各 $k$ の寄与を計算する。$k=0$ では $d=-3,-1,1,3$ に対して $p_k(d)=1/64,3/64,3/64,1/64$ であり、寄与は $$\displaystyle \frac{1\cdot3+3\cdot3+3\cdot1}{64^2}=\frac{15}{4096}.$$ $k=1$ では $d=-2,0,2$ に対して確率は $3/32,3/16,3/32$ だから、寄与は $$\displaystyle 2\cdot\frac{3}{32}\cdot\frac{3}{16}=\frac{9}{256}.$$ $k=2$ では $d=-1,1$ に対して確率はそれぞれ $3/16$ なので、寄与は $9/256$。$k=3$ では東西変位が両者とも0で、差が2にならないため寄与は0。以上から $$\displaystyle P(\text{3秒後に一致})=\frac{15}{4096}+\frac{9}{256}+\frac{9}{256} =\boxed{\frac{303}{4096}}.$$