1山口大学 2002年 数学 第1問解答・解説

積の各成分を比較すると$$a^2+b^2=p^2,\qquad ac+bd=0,\qquad c^2+d^2=pq.\tag{1}$$を得る。

(1) $a,b$ がともに奇数であると仮定すると、$a^2\equiv b^2\equiv1\pmod 4$ より、$p^2=a^2+b^2\equiv2\pmod 4$ となる。しかし整数 $p$ の平方は $4$ で割ると $0$ または $1$ 余る。矛盾するから、$a,b$ のうち少なくとも一方は偶数である。

(2) $p=0$ のとき、(1)より $a^2+b^2=0$ なので $a=b=0$ である。また $c^2+d^2=pq=0$ より $c=d=0$ となり、$\sqrt{pq}=0$ は有理数である。

次に $p\ne0$ とする。このとき $a,b$ は同時に $0$ ではない。$a\ne0$ なら $t=d/a$ とおくと、(1)の $ac+bd=0$ から $c=-bd/a=-bt$ であり、$d=at$ である。$a=0$ なら $b\ne0$ であり、$ac+bd=0$ から $d=0$ となる。このとき $t=-c/b$ とおけば $c=-bt,d=at$ である。いずれの場合も $t$ は有理数で、$$pq=c^2+d^2=t^2(a^2+b^2)=t^2p^2=(tp)^2.$$よって $\sqrt{pq}=|tp|$ は有理数である。

(3) $a=4,b=0,c=0,d=2$ とする。このとき$$\begin{pmatrix}4&0\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&0\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16&0\\0&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4^2&0\\0&4\cdot1\end{pmatrix}.$$したがって $p=4,q=1$ とすれば条件を満たす。

積の成分を比較して平方和の等式を得る。法4で偶奇を判定し、平方根はpの零・非零とaの零・非零を場合分けして有理数の平方として表す。最後は積を直接確認できる行列例を示す。