IV慶應義塾大学 2006年 数学 第IV問解答・解説

成分計算で使う性質を先に確認する。2行2列行列 $U=(u_{ij}),V=(v_{ij})$ に対し、積の対角成分の和は $$\operatorname{tr}(UV)=u_{11}v_{11}+u_{12}v_{21}+u_{21}v_{12}+u_{22}v_{22}=\operatorname{tr}(VU).$$ ここで $\operatorname{tr}$ は対角成分の和を表す記号にすぎない。従って $\operatorname{tr}(P^{-1}RP)=\operatorname{tr}(RPP^{-1})=\operatorname{tr}(R)$。一般線形代数の定理の引用は不要である。

(1) 回転の行列を $R$ とすると、$k+n=2\cos\theta$。ゆえに $|k+n|\le2$。$\theta=0,P=E$ で等号が成り立つので、あは $2$。$0<\theta<\pi$ では $-2<2\cos\theta<2$ で、これが整数だから $\cos\theta=-1/2,0,1/2$。対応する角は $2\pi/3,\pi/2,\pi/3$ である。 これらが実際に可能なことも確認する。$c=\cos\theta,s=\sin\theta>0$ とし、 $$P=\begin{pmatrix}1&c\\0&s\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0&-1\\1&2c\end{pmatrix}$$ とおけば $RP=PB$ が直接計算で確かめられる。$s\ne0$ より逆行列があり、$P^{-1}RP=B$ は整数成分になる。

(2-1) $t=a+d$ と置くと、直接掛け算して $$A^2-tA=\begin{pmatrix}bc-ad&0\\0&bc-ad\end{pmatrix}=-E.$$ $t$ は $|t|<2$ を満たす整数なので $t=-1,0,1$。したがって空欄え・お・かには順不同で $-A-E,-E,A-E$ が入る。

(2-2) 対角成分の和は行列 $P^{-1}AP$ に取り替えても $t$ のままである。一方、最初の候補の和は $\alpha+1/\alpha$。$\alpha>0$ なら $(\alpha-1)^2/\alpha\ge0$ より $\alpha+1/\alpha\ge2$、$\alpha<0$ なら $\alpha+1/\alpha\le-2$。二つ目の候補の和も $\pm2$ である。いずれも $|t|<2$ に反するので不可能。

検算：$t=0$ の整数回転行列では $A^2=-E$。構成した $B$ はいずれも行列式1で、三つの角をすべて実現する。