III慶應義塾大学 2006年 数学 第III問解答・解説

連続であるため、$x=1/n$ で左側の値と右側の値が一致し、$a_n/n+b_n=0$。また $$\displaystyle 1=\int_0^{1/n}(a_nx+b_n)\,dx=\frac{a_n}{2n^2}+\frac{b_n}{n}.$$ 前式から $b_n=-a_n/n$ なので、後式は $-a_n/(2n^2)=1$。従って $$a_n=-2n^2,\qquad b_n=2n.$$ さらに $$\displaystyle \int_0^1 f_n(x)\cos x\,dx=\int_0^{1/n}2n(1-nx)\cos x\,dx=2n^2\left(1-\cos\frac1n\right).$$ $1-\cos t=2\sin^2(t/2)$ と $\displaystyle \lim\limits _{u\to0}\sin u/u=1$ から、この値の極限は1。

(2) 部分積分すると $$\displaystyle \int_{1/n^2}^{\pi}\sqrt{x}\cos(nx)\,dx =\left[\frac{\sqrt{x}\sin(nx)}n\right]_{1/n^2}^{\pi}-\frac1{2n}\int_{1/n^2}^{\pi}\frac{\sin(nx)}{\sqrt{x}}\,dx.$$ $n$ は自然数なので上端の境界項は0であり、下端の絶対値は $|\sin(1/n)|/n^2\le 1/n^3$。積分項の絶対値は $$\displaystyle \frac1{2n}\int_{1/n^2}^{\pi}\frac{dx}{\sqrt{x}}\le\frac1{2n}\int_0^\pi\frac{dx}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt\pi}{n}.$$ 両方とも0に収束するから、求める極限は0。