6千葉大学 2001年 数学 第6問解答・解説

(1) $f(x)=e^x-ax-b$ とおく。$a<0$ なら $x\to-\infty$ で $e^x\to0$ かつ $-ax\to-\infty$ なので $f(x)\to-\infty$ となり、不等式を満たす $b$ はない。$a=0$ なら $e^x>0$ であり、$x\to-\infty$ のとき $e^x\to0$ となるので、条件は $b\le0$ である。

$a>0$ なら $g(x)=e^x-ax$ とおくと $$g'(x)=e^x-a,\qquad g''(x)=e^x>0.$$ $g$ は $x=\ln a$ で唯一の最小値 $g(\ln a)=a-a\ln a$ をとる。したがって $e^x\ge ax+b$ がすべての実数 $x$ で成り立つ条件は $b\le a(1-\ln a)$ である。

(2) 積分値を $I$ とすると $$\displaystyle I=\int_0^1(e^x-ax-b)\,dx=e-1-\frac a2-b.$$ $a=0$ では $b\le0$ だから、最小値は $b=0$ のときの $e-1$ である。$a>0$ を固定すると $I$ は $b$ が大きいほど小さいので、最小にするには $b=a(1-\ln a)$ とすればよい。このとき $$\displaystyle I=e-1-\phi(a),\qquad \phi(a)=a\left(\frac32-\ln a\right).$$ $$\displaystyle \phi'(a)=\frac12-\ln a,\qquad \phi''(a)=-\frac1a<0.$$ よって $\phi$ は $a=\sqrt e$ で最大値 $\phi(\sqrt e)=\sqrt e$ をとる。これは $a=0$ の場合の対応する最大値 $0$ より大きい。したがって求める積分の最小値とそのときの係数は $$\displaystyle \boxed{I_{\min}=e-1-\sqrt e},\qquad \boxed{a=\sqrt e,\quad b=a(1-\ln a)=\frac{\sqrt e}{2}}.$$