千葉大学 2001年数学第2問解答・解説

二次関数微分・積分の考え

このページには広告が含まれます。

1問題

千葉大学2001年度第2問

実数 a に対して

$f (x) = a x ^ {2} - 2 a x + a ^ {2} + 1$

とおく。

(1) 定積分

$\displaystyle I (a) = \int_ {1} ^ {2} f (x) d x$

を a を用いて表せ。

(2) $f(x)$ が条件 $f(1) \leq 1$ を満たすような a の範囲を求めよ。

(3) a が (2) の範囲を動くとき, $I(a)$ の最大値および最小値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

定積分を項別に計算し、条件を二次不等式に直してaの範囲を求める。最後にI(a)を平方完成し、最小値と区間端点の値から最大値を定める。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle (1)\space{}I(a)=a^2-\frac{2}{3}a+1,$
$(2)\space{}0\leq a\leq1,$
$\displaystyle (3)\space{}\min I(a)=\frac{8}{9}\space{}(a=\frac{1}{3}),\space{}\max I(a)=\frac{4}{3}\space{}(a=1).$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $\displaystyle I(a)=a\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2-2a\left[\frac{x^2}{2}\right]_1^2+(a^2+1)[x]_1^2 =\frac73a-3a+a^2+1=a^2-\frac23a+1.$ (2) $f(1)=a-2a+a^2+1=a^2-a+1.$ $f(1)\le1$ であるための必要十分条件は $a^2-a\le0$ 、すなわち $a(a-1)\le0$ 、すなわち $0\le a\le1$ . (3) $\displaystyle I(a)=a^2-\frac23a+1=\left(a-\frac13\right)^2+\frac89.$ したがって最小値は $\displaystyle \frac89$ （ $\displaystyle a=\frac13$ ）. $\displaystyle I(0)=1,\quad I(1)=\frac43.$ 上に開く二次関数なので範囲 $0\le a\le1$ での最大値は $\displaystyle \frac43$ （ $a=1$ ）.

この問題で使う考え方

定積分
二次不等式とグラフ
二次関数の最大・最小

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。