7信州大学 2002年 数学 第7問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} &二次関数を f(x)=ax^2+bx+c とおく。\\ &f(0)=1 より c=1,\quad f(1)=2 より a+b=1, したがって b=1-a.\\ &\text{したがって} f(x)=ax^2+(1-a)x+1.\\[2mm] &(1)\quad f'(x)=2ax+(1-a). 点 (1,2) での接線の傾きが 3 だから f'(1)=a+1=3.\\ &a=2,\ b=-1 となり、f(x)=2x^2-x+1.\\[2mm] &(2)\quad \int_0^1 f(x)\,dx=\frac a3+\frac{1-a}{2}+1=-\frac a6+\frac32.\\ &-\frac a6+\frac32=0 より a=9,\ b=-8. よって f(x)=9x^2-8x+1.\\[2mm] &(3)\quad f(0)=1,\ f(1)=2 は固定され、いずれも 3 未満である。\\ &a>0 なら下に凸であり、0\le x\le1 で f(x)-(1+x)=ax(x-1)\le0。したがって f(x)\le1+x\le2 であり、x=1 で最大値 2 をとる。\\ &a=0 なら f(x)=x+1 なので最大値 2。よって a\ge0 は条件を満たさない。\\ &a<0 のとき、頂点の x 座標は x_v=-\frac{1-a}{2a}=\frac{a-1}{2a}. 端点で最大値 3 にはならないから、頂点が区間内に必要である。\\ &a<0 では x_v>0 であり、x_v<1\text{であるための必要十分条件は} a<-1. したがって a<-1 の場合に頂点値を 3 とする。\\ &f(x_v)=1-\frac{(1-a)^2}{4a}=3\text{であるための必要十分条件は} a^2+6a+1=0.\\ &a=-3\pm2\sqrt2 のうち a<-1 を満たすのは a=-3-2\sqrt2 のみ。\\ &b=1-a=4+2\sqrt2 だから、f(x)=(-3-2\sqrt2)x^2+(4+2\sqrt2)x+1.\\ &このとき頂点のx座標 x_v=2-\sqrt2 は 0<x_v<1 を満たし、頂点値は 3 なので条件を満たす。\end{aligned}$$