2信州大学 2002年 数学 第2問解答・解説

操作前の濃度を数値で $a_n,b_n$ とし，1回の操作後を $a_{n+1},b_{n+1}$ とする。最初にBからAへ20g移すと，Aは120gとなるので，その濃度を $c_n$ とおけば$$\displaystyle c_n=\frac{100a_n+20b_n}{120}=\frac{5a_n+b_n}{6}.$$この後Aから20gを取り出しても，残るAの濃度は $c_n$ のままであり，Bは80gの $b_n\%$ 食塩水に20gの $c_n\%$ 食塩水を加えた100gとなる。したがって$$\displaystyle a_{n+1}=c_n=\frac{5a_n+b_n}{6},\qquad b_{n+1}=\frac{80b_n+20c_n}{100}=\frac{4b_n+c_n}{5}=\frac{a_n+5b_n}{6}.$$ (1) $a_0=6,b_0=18$ を代入すると $a_1=(5\cdot6+18)/6=8$，$b_1=(6+5\cdot18)/6=16$。 (2) 漸化式から $a_{n+1}+b_{n+1}=a_n+b_n$ なので $a_n+b_n=24$。また $d_n=b_n-a_n$ とすると $\displaystyle d_{n+1}=\frac23d_n$，かつ $d_0=12$ より $d_n=12(2/3)^n$。和と差を解いて$$\displaystyle a_n=\frac{24-d_n}{2}=12-6\left(\frac23\right)^n,\qquad b_n=\frac{24+d_n}{2}=12+6\left(\frac23\right)^n.$$ (3) 濃度差は $d_n=12(2/3)^n$ で，公比 $2/3$ は0と1の間にあるため単調減少する。$n=4$ では $d_4=64/27>2$，$n=5$ では $d_5=128/81<2$。よって初めて2%以下になるのは5回後である。