金沢大学 2005年数学第2問解答・解説

数学的な表現の工夫数列

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1問題

金沢大学2005年度第2問

定数 a は 0 < a < 1 を満たすとする。行列 P = $\begin{pmatrix} 1-a & a \\ a & 1-a \end{pmatrix}$ について次の問いに答えよ。

(1) P の2乗は P^2 = $\begin{pmatrix} 1-b & b \\ b & 1-b \end{pmatrix}$ という形で表されることを示せ。

(2) n が自然数のとき，P の n 乗は P^n = $\begin{pmatrix} 1-p_n & p_n \\ p_n & 1-p_n \end{pmatrix}$ という形で表されることを数学的帰納法を用いて証明せよ。

(3) (2) の p_n について，数列 {p_n} の一般項と lim_{n→∞} p_n を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $b=2a(1-a)$ 。 (2) $\displaystyle p_n=\frac{1-(1-2a)^n}{2}$ 。 (3) $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}p_n=\frac12$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 成分を掛けると $b=2a(1-a)$ 。

(2) $p_1=a$ とする。 ${P^n}$ が所定形なら、右から $P$ を掛けると非対角成分は $p_{n+1}=a+(1-2a)p_n$ 、対角成分は $1-p_{n+1}$ になる。従って帰納法で所定形が保たれる。

(3) $\displaystyle p_{n+1}-\tfrac12=(1-2a)(p_n-\tfrac12)$ 、 $\displaystyle p_1-\tfrac12=-(1-2a)/2$ なので $\displaystyle p_n=\frac{1-(1-2a)^n}{2}.$ $|1-2a|<1$ より極限は $1/2$ 。

対称な2×2行列を直接掛け、帰納段階で $p_{n+1}=a+(1-2a)p_n$ を得る。固定値1/2との差は公比1−2aの等比数列となる。 $0<a<1$ より公比の絶対値は1未満である。

この問題で使う考え方

2×2行列の成分計算
数学的帰納法
等比数列

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