1東京医科歯科大学 2012年 数学 第1問解答・解説

$u_n=a_n+b_n,\ v_n=a_n-b_n$ とおく。漸化式より $$u_{n+1}=8u_n,\qquad v_{n+1}=2v_n,\qquad u_1=8,\quad v_1=2.$$ したがって $$\displaystyle u_n=8^n,\quad v_n=2^n,\quad a_n=\frac{8^n+2^n}{2},\quad b_n=\frac{8^n-2^n}{2}.$$

(1) $c_n=a_n^2-b_n^2=(a_n+b_n)(a_n-b_n)=u_nv_n=16^n$。

(2) $k$ を固定し、$\ell$ について数学的帰納法で示す。$\ell=1$ では $a_1=5,\ b_1=3$ と漸化式から $$a_{k+1}=5a_k+3b_k=a_ka_1+b_kb_1,\qquad b_{k+1}=3a_k+5b_k=b_ka_1+a_kb_1$$ となる。ある $\ell$ で両式が成り立つと仮定すると、 $$\begin{aligned} a_{k+\ell+1} &=5a_{k+\ell}+3b_{k+\ell}\\ &=a_k(5a_\ell+3b_\ell)+b_k(3a_\ell+5b_\ell) =a_ka_{\ell+1}+b_kb_{\ell+1},\\ b_{k+\ell+1} &=3a_{k+\ell}+5b_{k+\ell}\\ &=b_k(5a_\ell+3b_\ell)+a_k(3a_\ell+5b_\ell) =b_ka_{\ell+1}+a_kb_{\ell+1}. \end{aligned}$$ ここで漸化式を用いた。よって帰納法により任意の自然数 $\ell$ で成立する。

(3) $n>\ell$ とする。(2)より $$\begin{gathered} b_{n+\ell}=b_na_\ell+a_nb_\ell,\\ b_n=b_{n-\ell}a_\ell+a_{n-\ell}b_\ell,\qquad a_n=a_{n-\ell}a_\ell+b_{n-\ell}b_\ell. \end{gathered}$$ ゆえに $$\begin{aligned} b_{n+\ell}-c_\ell b_{n-\ell} &=b_na_\ell+a_nb_\ell-(a_\ell^2-b_\ell^2)b_{n-\ell}\\ &=2a_{n-\ell}a_\ell b_\ell+2b_{n-\ell}b_\ell^2\\ &=2b_\ell(a_{n-\ell}a_\ell+b_{n-\ell}b_\ell) =2a_nb_\ell. \end{aligned}$$

(4) 上で得た一般項と $c_r=16^r$ を使うと $$\displaystyle \begin{aligned} a_{2n}+\sum\limits _{m=1}^{n-1}c_{n-m}a_{2m} &=\frac{64^n+4^n}{2} +\frac{16^n}{2}\left(\sum\limits _{m=1}^{n-1}4^m+\sum\limits _{m=1}^{n-1}4^{-m}\right)\\ &=\frac{64^n+4^n}{2} +\frac{16^n}{6}\left(4^n-3-4^{1-n}\right)\\ &=\frac{4\cdot64^n-3\cdot16^n-4^n}{6}. \end{aligned}$$ 一方、 $$\displaystyle \frac{b_{2n+1}}{2b_1}-\frac{c_n}{2} =\frac{4\cdot64^n-4^n}{6}-\frac{16^n}{2} =\frac{4\cdot64^n-3\cdot16^n-4^n}{6},$$ となるので、(4)も成立する。