3東京医科歯科大学 2012年 数学 第3問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} &\text{(1)}\quad f'(x)=3x^2-2x+1=3\left(x-\frac13\right)^2+\frac23>0\qquad(x\text{ は実数}).\\ &\text{よって}f\text{はつねに増加する。また}f(x)\to\pm\infty\ (x\to\pm\infty)\text{なので逆関数}g\text{が定まる。}\\ &\text{(2)}\quad x>0\text{として}t=\sqrt[3]{x}>0\text{とおくと、}\\ &f(t-1)=t^3-4t^2+6t-3=t^3-\left\{4\left(t-\frac34\right)^2+\frac34\right\}<t^3=x,\\ &f(t+1)=t^3+2t^2+2t+1>x.\\ &\text{fの増加性と}f(g(x))=x\text{から}t-1<g(x)<t+1\text{、すなわち所望の不等式を得る。}\\ &\text{(3)}\quad b>a>0\text{なら}0<\frac1{x^2+1}<\frac1{x^2}\qquad(a\leq x\leq b)\text{であるから、}\\ &0<\int_a^b\frac{dx}{x^2+1}<\int_a^b\frac{dx}{x^2}=\frac1a-\frac1b<\frac1a.\\ &\text{(4)}\quad u_n=g(n),\quad v_n=g(2n)\text{とおく。}f\text{の増加性と}f(0)=0\text{より}0<u_n<v_n.\\ &x=f(y)=y^3-y^2+y\text{と変数変換すると}dx=(3y^2-2y+1)\,dy\text{であり、}\\ &\frac{3y^2-2y+1}{y^3+y}=\frac1y+\frac{2y-2}{y^2+1}=\frac1y+\frac{2y}{y^2+1}-\frac2{y^2+1}.\\ &\text{したがって}\\ &A_n=\ln\frac{v_n}{u_n}+\ln\frac{v_n^2+1}{u_n^2+1}-2\int_{u_n}^{v_n}\frac{dy}{y^2+1}.\\ &\text{(2)より}n^{1/3}-1<u_n<n^{1/3}+1,\quad (2n)^{1/3}-1<v_n<(2n)^{1/3}+1\text{なので、}\\ &\frac{u_n}{n^{1/3}}\to1,\quad \frac{v_n}{n^{1/3}}\to2^{1/3},\quad \frac{v_n}{u_n}\to2^{1/3},\quad \frac{v_n^2+1}{u_n^2+1}\to2^{2/3}.\\ &\text{(3)を}a=u_n,\ b=v_n\text{に適用すると}\\ &0<\int_{u_n}^{v_n}\frac{dy}{y^2+1}<\frac1{u_n}\to0.\\ &\text{ゆえに}\quad\lim\limits _{n\to\infty}A_n=\ln 2^{1/3}+\ln 2^{2/3}=\ln2. \end{aligned}$$